چرا متوازی الاضلاع خط تقارن ندارد

محور تقارن مانند آینه ای است که انعکاس اشکال را نشان می دهد. اشکال دو طرف محور تقارن هم اندازه و شبیه به هم هستند. به عبارت دیگر، محور تقارن شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. ضمناً با تا زدن شکل روی این خط، دو قسمت مساوی آن کاملاً با یکدیگر منطبق می شوند. بسیاری از اشکال در طبیعت (اشکال موجودات، دانه های برف و غیره) دارای تقارن محوری و یک خط تقارن فرضی هستند. در این آموزش به سوال “محور تقارن چیست؟” پاسخ می دهیم و با حل چند مثال تصویری، وجود خط تقارن در اشکال هندسی و نحوه رسم این خط را بررسی می کنیم.

تقارن چیست؟

تقارن یکی از مفاهیم شناخته شده در ریاضیات، فیزیک، ادبیات، فلسفه و بسیاری از زمینه های دیگر است. در ریاضیات، تقارن به طور کلی به عنوان یکی از ویژگی های هندسی اشکال ارائه می شود.

برای مثال، تصویر زیر را در نظر بگیرید. در شکل سمت راست خطی وجود دارد که شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. به این ترتیب یک شکل با تقارن یا چیزی که متقارن می نامیم می گوییم.

در شکل سمت چپ هیچ خطی که شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم کند پیدا نمی کنیم. بنابراین این رقم به شکل بدون تقارن یا نامتقارن نامیده می شود که مثال فوق یکی از انواع تقارن به نام تقارن محوری بود. در ادامه به ارائه بیشتر این نوع تقارن می پردازیم.

انواع تقارن چیست؟

تقارن در هندسه به انواع محوری (بازتابی)، چرخشی (مرکزی) و انتقالی تقسیم می شود:

تقارن دورانی

با چرخاندن شکل حول یک نقطه ثابت و یک اندازه مشخص، شکل دوباره تراز می شود. در تقارن مرکزی (تقارن دورانی مرتبه دوم) با چرخش 180 درجه ای شکل، تغییری در آن ایجاد نمی شود.

تقارن گذار

با حرکت دادن شکل در جهت خاصی، شکل تغییر نمی کند.

تقارن محوری

البته تقارن دیگری به نام تقارن لغزشی وجود دارد که ترکیبی از تقارن انتقالی و محوری است. با توجه به اهمیت تقارن محوری در موضوع محور تقارن، این نوع تقارن را جداگانه تعریف می کنیم.

به ترتیب از راست به چپ؛ تقارن انتقالی، تقارن چرخشی و تقارن محوری

تقارن محوری چیست؟

تقارن محوری یکی از شناخته شده ترین و رایج ترین انواع تقارن است. در این نوع تقارن شکل به دو قسمت مساوی تقسیم می شود و هر قسمت قسمت دیگر را آینه می کند. به همین دلیل، تقارن محوری را تقارن بازتابی نیز می‌نامند. برای درک تقارن محوری می‌توان از آینه استفاده کرد. آینه وسیله ای است که تصویر اجسام را منعکس می کند. تصویر زیر را در نظر بگیرید.

مرز بین قطعات و بازتاب آن‌ها، خط تقارن نام دارد.

اگر مانند تصویر بالا تعدادی سکه جلوی آینه قرار دهیم، انعکاس این سکه ها در داخل آینه نمایش داده می شود. به این ترتیب یک شکل متقارن محوری تشکیل می شود. تقارن محوری و محور تقارن دو مفهوم جدایی ناپذیر هستند. هر جا تقارن محوری وجود داشته باشد، مطمئناً یک خط تقارن وجود خواهد داشت. با این تعاریف و توضیحاتی که در قسمت های قبل ارائه شد، اکنون می توانیم به سراغ تعریف محور تقارن یا محور تقارن برویم.

محور تقارن یا محور تقارن چیست؟

«خط تقارن» یا «محور تقارن» خطی است که با تا کردن شکل روی آن، شکل را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌کند. به طوری که این دو نیمه کاملا روی هم قرار می گیرند. برای مثال پروانه نشان داده شده در تصویر زیر را در نظر بگیرید.

پروانه حشره ای است با شکل متقارن (تقارن محوری). در تصویر بالا در فاصله بین دو دندان پروانه و در راستای بدنه آن خطی می کشیم.

خط بالایی پروانه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. حالا سمت راست تصویر را روی خط تا می کنیم.

به این ترتیب دو طرف تصویر پروانه کاملاً با یکدیگر مطابقت دارند. خط کشیده شده را خط یا محور تقارن شکل پروانه می نامند. بیشتر اشکال در طبیعت دارای تقارن محوری و یک خط تقارن فرضی هستند. تصویر زیر نمونه دیگری از تقارن محوری و محور تقارن در طبیعت را نشان می دهد. در برگ درختان و گیاهان، محور تقارن به وضوح قابل مشاهده است.

بسیاری از سازه های مصنوعی نیز به تقلید از طبیعت، با تقارن محوری و یک محور تقارن ساخته شده اند. زیرا تقارن به اشکال زیبایی می بخشد. تصویر زیر تاج محل یکی از جاذبه های گردشگری هند را نشان می دهد. در این تصویر خط فرضی تقارن این سازه ترسیم شده است. هر شکلی که در یک طرف محور تقارن تاج محل می بینید در سمت دیگر با همان ابعاد است.

انواع محورهای تقارن کدامند؟

خطوط تقارن معمولاً بر اساس جهت آنها تقسیم می شوند. بر این اساس، انواع خطوط تقارن عبارتند از:

خط افقی تقارن

خطی که به صورت افقی شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. حرف C در انگلیسی دارای یک خط افقی از تقارن است.

خط عمودی تقارن

خطی که به صورت عمودی شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. اعداد «7» و «8» در فارسی دارای خط تقارن عمودی هستند.

خط مورب تقارن

خطی که شکل را به صورت مورب به دو قسمت مساوی و موازی تقسیم می کند. شکل ستاره “*” دارای یک خط مورب از تقارن است. البته این شکل می تواند دارای خطوط تقارن افقی و عمودی نیز باشد.

مثال 1: تشخیص وجود خطوط تقارن در اشکال

کدام یک از اشکال زیر دارای تقارن هستند؟

محور تقارن شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. علاوه بر این، اگر شکل را روی محور تقارن تا کنیم، این دو قسمت مساوی روی هم قرار می گیرند. برای شروع حل مشکل، شکل سبز را در نظر بگیرید. با بررسی این شکل می توان حداقل یک خط را پیدا کرد که خاصیت محور تقارن را دارد. به عنوان مثال، خط زیر یکی از خطوط تقارن شکل سبز را نشان می دهد.

اگر شکل سبز را از محور تقارن تا کنیم، دو قسمت دقیقاً روی هم قرار می گیرند. بنابراین این شکل یک محور تقارن را نشان می دهد.

شکل نارنجی هیچ محور تقارن ندارد. در این شکل خطی وجود ندارد که آن را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. به عنوان مثال، اگر شکل نارنجی را روی خطوط نشان داده شده در تصویر زیر یا هر خط دیگری تا کنیم، قسمت های دو طرف خط با هم مطابقت ندارند.

مثال 2: بررسی دقت محور تقارن اشکال

تمام خطوط بعدی شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند. با توجه به این نکته کدام یک از آنها محور تقارن نیست؟

با توجه به تعریف محور تقارن، اگر شکلی را روی محور تقارن آن خم کنید، قسمت های دو طرف خط کاملاً روی هم قرار می گیرند. به این ترتیب برای تشخیص محور تقارن، شکل را از روی خط کشیده شده تا می کنیم. این کار را از خط شروع می کنیم.

خط (A) شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. حالا شکل را روی این خط خم می کنیم.

همانطور که می بینید، دو طرف خط کاملاً همپوشانی دارند. بنابراین خط (A) محور تقارن است. حالا بیایید به خط (ب) برویم.

خط (ب) نیز شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. شکل را از این خط خم می کنیم.

همانطور که مشاهده می کنید؛ با تا کردن شکل روی خط (ب)، دو طرف خط کاملاً روی هم نمی‌افتند. بنابراین خط (ب) یک خط تقارن نیست. در نهایت، زمان بررسی خط (c) است. خط (ج) مانند خطوط (الف) و (ب) شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

شکل را از خط (ج) تا می کنیم. به این ترتیب هر دو طرف خط کاملاً همپوشانی دارند. در نتیجه خط (c) محور تقارن است.

در این مثال چندین بار اشاره کردیم که تمام خطوط (الف) و (ب) و (ج) شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند. هدف از ذکر این مبحث درک کامل تعریف محور تقارن بود. محور تقارن نه تنها شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. برعکس، اگر شکل روی هم تا شود، دو قسمت شکل کاملا روی هم قرار می گیرند. در قسمت “تفاوت محور تقارن و مرکز تقارن” این مشکل را با جزئیات بیشتری توضیح خواهیم داد.

مثال 3: رسم نیمه دیگر اشکال متقارن

در تصویر زیر نیمی از چند شکلی ها و محور تقارن آنها رسم شده است. در امتداد محور تقارن، نیمه دیگر اشکال را بکشید.

فیلم های آموزشی مرتبط

هنگام ترسیم نیمه دیگر یک شکل متقارن محوری، محور تقارن را مانند یک آینه در نظر بگیرید. هر چه در یک طرف آینه باشد به همان میزان در طرف دیگر خواهد بود. اولین رقم از سمت چپ را در نظر بگیرید. این شکل از سه مربع (دو مربع سبز و یک چهارم زرد) تشکیل شده است.

برای توضیح روند رسم نیمه دیگر اشکال در امتداد محور تقارن، هر یک از مربع ها را با یک عدد مشخص می کنیم.

مربع شماره 1 (مربع زرد) به محور تقارن متصل است. در طرف دیگر محور تقارن و روبروی این مربع خانه متصل به محور تقارن را زرد می کنیم.

در مرحله بعد به مربع شماره 2 (مربع سبز) می رویم. این مربع نیز به محور تقارن متصل است. بدین ترتیب در سمت دیگر محور تقارن و رو به این مربع خانه را در کنار محور تقارن می کاریم.

در نهایت، مربع شماره 3 (یک مربع سبز دیگر) است. این مربع به اندازه یک خانه از محور تقارن فاصله دارد. در سمت دیگر محور تقارن و رو به این مربع از محور تقارن به اندازه یک خانه فاصله می گیریم و شکل را سبز می کنیم.

به این ترتیب نیمه دیگر شکل در امتداد محور تقارن رسم می شود.

برای بقیه شکل ها هم همین کار را تکرار می کنیم. تصویر زیر نیمی دیگر از تمام اشکال مورد نظر را نشان می دهد.

مثال 4: تعیین محل محور تقارن

تصویر زیر یک شکل متقارن محوری را نشان می دهد. محور تقارن شکل را با استفاده از خط کش ترسیم کنید.

برای توضیح نحوه رسم محور تقارن در شکل بالا گوشه های آن را با حروف مشخص می کنیم.

با بررسی دقیق اشکال متقارن، می توانید اجزای مشابه را پیدا کنید. در شکل بالا، گوشه های زیر شبیه به یکدیگر هستند:

گوشه (ب) و گوشه (g)

گوشه (ج) و گوشه (f)

گوشه (د) و گوشه (ه)

برای ترسیم محور تقارن، نقطه وسط فاصله بین گوشه های مشابه را پیدا می کنیم. به عنوان مثال با استفاده از یک خط کش، فاصله بین گوشه های (c) و (f) را بدست می آوریم.

سپس وسط این فاصله را با یک نقطه مشخص می کنیم.

این کار را برای گوشه های (د) و (ه) تکرار می کنیم.

نقاط ترسیم شده در مراحل بالا دو نقطه در محور تقارن هستند.

این دو نقطه را به هم وصل می کنیم.

خط ترسیم شده، محور تقارن شکل است.

مثال 5: تعیین نوع محور تقارن اشکال

نوع محور تقارن را در هر یک از شکل های زیر مشخص کنید.

نوع خط تقارن به جهت آن بستگی دارد. جهت خط تقارن در شکل های فوق به ترتیب از راست به چپ، افقی، عمودی و مورب است. بنابراین:

شکل سمت راست یک خط افقی از تقارن را نشان می دهد.

شکل وسط یک خط عمودی از تقارن را نشان می دهد.

شکل سمت چپ یک خط مورب از تقارن را نشان می دهد. در برخی موارد خط تقارن محوری را خط تقارن مورب می نامند.

مثال 6: رسم خط تقارن در اعداد

کدام یک از اعداد زیر دارای محور تقارن است؟

تصویر بالا شکل اعداد فارسی (1 تا 10) را نشان می دهد. با دقت به این شکل ها می بینیم که اعداد 1، 5، 7 و 8 دارای تقارن محوری هستند. بنابراین این اعداد دارای یک محور تقارن هستند. به عنوان مثال عدد 7 را در نظر بگیرید خط تقارن این عدد عمودی است و به صورت زیر رسم می شود.

مثال 7: رسم خط تقارن با حروف انگلیسی

تصویر زیر حروف انگلیسی را نشان می دهد. کدام یک از این حروف دارای محور تقارن عمودی، افقی یا مورب است؟

در بین حروف انگلیسی، حروف X، W، V، U، T، O، M، I، H، A و Y دارای خط تقارن عمودی هستند. تصویر زیر محور عمودی تقارن حرف A را نشان می دهد.

حروف O، I، H، E، D، C، B و X دارای یک خط افقی از تقارن هستند. در تصویر زیر خط تقارن حرف B را به عنوان مثال رسم کرده ایم.

در میان حروف انگلیسی، فقط حرف O دارای محور تقارن مورب است. اگر این حرف به شکل دایره نوشته شده باشد. برخی از حروف دیگر مانند X، S، O، N، I، H و Z نیز دارای تقارن مرکزی هستند. اگر این حروف را 180 درجه بچرخانیم به شکل اولیه خود باز می گردند.

چه رابطه ای بین تقارن و محور تقارن وجود دارد؟

یکی از مفاهیم هندسی بسیار نزدیک به مفهوم محور تقارن است، رابطه شکل . طرح ریزی یک شکل، انعکاس نقاط آن شکل نسبت به یک خط یا نقطه است.

شکل های متقارن محوری از دو قسمت متقارن تشکیل شده اند. برای مثال، تصویر زیر را در نظر بگیرید.

تصویر بالا انعکاس کوه را روی سطح آب نشان می دهد. انعکاس کوه، قیاس شکل کوه است. این دو عنصر (کوه و همتای آن) با هم یک شکل متقارن محوری ایجاد می کنند. در نتیجه، تقارن شکل، بازتابی از شکل نسبت به محور تقارن است. برای آشنایی بیشتر با مبحث شکل گفتار و نحوه رسم نقاشی، مقاله شکل تصویر چیست؟ ما به شما “به زبان ساده + مثال و راه حل تمرین” را پیشنهاد می کنیم.

محور تقارن در اشکال هندسی

بسیاری از اشکال هندسی شناخته شده دارای یک خط یا محور تقارن هستند. در این قسمت به معرفی محور تقارن در اشکال مختلف هندسی می پردازیم.

فیلم های آموزشی مرتبط

محور تقارن دایره چیست؟

قطر دایره این شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

بنابراین قطر دایره به عنوان محور تقارن آن در نظر گرفته می شود.

دایره قطر بی نهایت دارد. بنابراین تعداد محورهای تقارن دایره نیز بی نهایت خواهد بود.

همانطور که در تصویر بالا نشان داده شده است، خطوط تقارن دایره به صورت عمودی، افقی و مورب هستند.

خط تقارن قطاع دایره چیست ؟

بخش دایره شکلی است که از دو شعاع و یک قوس دایره تشکیل شده است. یکی از شناخته شده ترین بخش های دایره، نیم دایره است. این شکل با ترسیم قطر (محور تقارن) و تقسیم دایره به دو قسمت مساوی ایجاد می شود.

پرتوهای مقابل قوس نیم دایره یک زاویه نیم صفحه بین آنها تشکیل می دهند. با ترسیم نیمساز این زاویه، محور تقارن نیم دایره را ترسیم می کنیم. یک نیم دایره دارای یک محور تقارن است.

یک چهارم دایره (یک چهارم دایره) را در نظر بگیرید. این شکل دارای یک محور تقارن است. در واقع تعداد محورهای تقارن در تمام بخشهای دایره برابر با یک است. درست مانند یک نیم دایره، این خطوط زاویه بین شعاع بخش را قطع می کنند.

محور تقارن در مثلث چیست؟

مثلث یک شکل مثلثی است. محور تقارن در این شکل به نوع آن بستگی دارد. مثلث ها با توجه به اندازه اضلاع خود به سه نوع تقسیم می شوند: ضلع مختلف (اضلاع نابرابر)، متساوی الساقین (دو ضلع مساوی) و متوازی الاضلاع (سه ضلع مساوی).

مثلث های چند ضلعی محور تقارن ندارند. برای مثلث های متساوی الاضلاع می توان خط تقارن رسم کرد. مثلث های متساوی الاضلاع نیز دارای سه محور تقارن هستند. خطوط تقارن مثلث ها نیمساز زوایای داخلی، عمود راست و ارتفاع اضلاع (پایه ها) هستند.

خط تقارن مثلث قائم الزاویه چیست ؟

یکی دیگر از انواع معروف مثلث، مثلث قائم الزاویه است. این مثلث می تواند متساوی الاضلاع یا متساوی الاضلاع باشد. بنابراین تعداد محور تقارن مثلث قائم الزاویه صفر یا یک خواهد بود.

محور تقارن مربع چیست؟

مربع شکلی است با چهار ضلع مساوی و چهار زاویه 90 درجه. برای این شکل می توان چهار محور تقارن ترسیم کرد. از میان چهار محور تقارن مربع، دو محور تقارن بر اضلاع عمود هستند و دو محور تقارن دیگر بر روی قطرها منطبق هستند.

مربع یکی از انواع منتظم چند ضلعی ها و از انواع خاص متوازی الاضلاع است. همچنین محورهای تقارن این اشکال را در بخش ها بررسی خواهیم کرد.

محور تقارن مستطیل چیست؟

یک مستطیل دارای چهار زاویه 90 درجه و چهار ضلع است. اضلاع مقابل این شکل برابر و موازی هستند. یک مستطیل دارای دو محور تقارن است. دو محور تقارن این شکل بر نیمسازهای طول و عرض آن عمود هستند. برخلاف مربع، مورب های مستطیل، محورهای تقارن این شکل نیستند.

محور تقارن لوزی چیست؟

لوزی از چهار ضلع مساوی تشکیل شده است. مربع شکل خاصی از الماس با زوایای داخلی راست است. مورب های الماس محورهای تقارن این شکل هستند. بنابراین، هر لوزی دارای دو محور یا خط تقارن است.

محور تقارن متوازی الاضلاع چیست؟

متوازی الاضلاع نوعی چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با یکدیگر موازی هستند. مربع، مستطیل و لوزی انواع خاصی از متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوند. متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد. به عبارت دیگر هیچ خط عمودی، افقی یا مورب این شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم نمی کند.

محور تقارن ذوزنقه چیست؟

ذوزنقه نوع دیگری از چهارضلعی است. این شکل از دو ضلع موازی و دو ضلع غیر موازی تشکیل شده است. از انواع ذوزنقه ها می توان به ذوزنقه هایی با صورت های مختلف و ذوزنقه های متساوی الساقین اشاره کرد. ذوزنقه هایی با ضلع های مختلف (حاد، منفرد و مستطیل) دارای محور تقارن نیستند. اما ذوزنقه های متساوی الساقین دارای یک محور تقارن هستند.

محور تقارن چندضلعی منتظم چیست؟

چند ضلعی های منتظم خطوط شکسته بسته ای هستند که با اضلاع و زوایای داخلی مساوی تشکیل شده اند. محور تقارن یک چند ضلعی منتظم برابر است با تعداد اضلاع آن. در چند ضلعی های منتظم (مثلث متساوی الاضلاع، پنج ضلعی منتظم، هفت ضلعی منتظم و …) نقطه وسط اضلاع، محور تقارن در نظر گرفته می شود.

در چند ضلعی های منتظم (مربع، شش ضلعی منتظم، هشت ضلعی منتظم و غیره) قطرها و میانه ها محورهای تقارن هستند.

خط تقارن پنج ضلعی منتظم چیست ؟

یک پنج ضلعی معمولی دارای پنج ضلع هم اندازه است. برای ردیابی محورهای تقارن این چندضلعی منتظم، هر یک از رئوس را به مرکز اضلاع مقابلشان وصل می کنیم. یک پنج ضلعی منظم دارای پنج محور تقارن است.

خط تقارن شش ضلعی منتظم چیست ؟

شش ضلعی منتظم یکی از شناخته شده ترین انواع چند ضلعی های منظم است. محورهای تقارن در این شکل از اتصال رئوس مخالف تشکیل شده است. یک شش ضلعی منظم دارای شش محور تقارن است.

درست مانند پنج ضلعی منتظم و شش ضلعی، هفت ضلعی منتظم دارای هفت محور تقارن و هشت ضلعی منتظم دارای هشت محور تقارن است. به عبارت دیگر، n چند ضلعی منتظم n محور تقارن دارند.

محور تقارن یک چندضلعی نامنظم چیست؟

در چند ضلعی های نامنظم، اندازه همه ضلع ها و زوایا برابر نیستند. به عنوان مثال، یک مستطیل با چهار زاویه قائمه یک چند ضلعی نامنظم در نظر گرفته می شود. زیرا همه اضلاع آن از نظر اندازه برابر نیستند. لوزی اگرچه دارای چهار ضلع مساوی است، اما یک چندضلعی نامنظم در نظر گرفته می شود زیرا همه زوایای داخلی با هم برابر نیستند. در قسمت های قبل با محور تقارن این نوع چند ضلعی ها آشنا شدیم.

اغلب، چند ضلعی های نامنظم دارای محور تقارن نیستند. برای مثال، شش ضلعی نشان داده شده در تصویر زیر متقارن نیست. بنابراین هیچ خط تقارنی نمی توان برای آن ترسیم کرد.

بر خلاف شکل بالا، شش ضلعی نشان داده شده در تصویر زیر متقارن است هرچند نامنظم است.

برای شش ضلعی نامنظم بالا، می توانیم یک خط تقارن رسم کنیم.

محور تقارن یک ستاره چیست؟

ستاره یکی از انواع چند ضلعی های مقعر مساوی است. محور تقارن این اشکال از دو رأس مخالف می گذرد. تعداد خطوط تقارن ستاره برابر با تعداد پرهای آن است. به عنوان مثال، یک ستاره شش پر دارای شش محور تقارن است.

محور تقارن یک زاویه چیست؟

زاویه شکلی است که از دو ضلع و یک راس تشکیل شده است. تصویر زیر اجزای یک زاویه را نشان می دهد.

فیلم های آموزشی مرتبط

در هر زاویه می توان محور تقارن را ردیابی کرد. با ترسیم این محور، زاویه به دو زاویه مساوی تقسیم می شود. به عبارت دیگر، محور تقارن یک زاویه، نیمساز آن است.

محور تقارن بیضی چیست؟

بیضی یک منحنی بسته است که به شکل دایره کشیده یا فشرده شده است. تصویر زیر اجزای مختلف یک بیضی افقی را نشان می دهد. محورهای اصلی و فرعی بیضی قطعات خطی هستند که از مرکز این شکل عبور می کنند. این محورها به عنوان بزرگترین و کوچکترین قطرهای بیضی شناخته می شوند.

قطر اصلی و فرعی بیضی را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. بنابراین، قطرهای بیضی، محور تقارن این شکل است. در نتیجه هر بیضی از دو خط یا محور تقارن تشکیل شده است.

محور تقارن چیست؟

سهمی یک نمایش تصویری از یک معادله درجه دوم در یک سیستم مختصات است. سهمی ها از اجزایی مانند منحنی، خط راهنما، کانون، راس و محور تقارن تشکیل شده اند.

محور سهموی یا خط تقارن یک خط مستقیم است که منحنی را به دو قسمت مساوی و متقارن تقسیم می کند. هر مثلث دارای یک محور تقارن است.

سهمی ها به چهار نوع افقی، عمودی، چپ دست و راست دست تقسیم می شوند. محور تقارن سهموی نوع آن را تعیین می کند. به عنوان مثال، تصویر بالا یک سهمی افقی را نشان می دهد. شیب محور تقارن این سهمی صفر است. تصویر زیر یک سهمی عمودی را نشان می دهد. شیب محور تقارن این سهمی تعریف نشده است.

معادله محور سهموی تقارن

محل برخورد محور تقارن با منحنی را رأس سهمی می نامند. مختصات راس سهموی یکی از پارامترهای مهم برای تعیین معادله محور تقارن است. اگر مانند تصویر بالا جهت سهمی به سمت پایین یا بالا باشد، محور تقارن یک خط عمودی خواهد بود. در این حالت معادله محور تقارن معادله خط عمودی است که از راس سهمی می گذرد.

اگر سهمی به سمت راست یا چپ باشد، محور تقارن یک خط افقی خواهد بود. در این حالت معادله محور تقارن معادله یک خط افقی است که از راس می گذرد. در سیستم مختصات x-y داریم:

معادله خط تقارن سهموی عمودی در راس $$ (h, k) $$ برابر است با $$ x=h $$

معادله خط سهموی افقی در راس $$ ( h , k ) $$ برابر است با $$ x=k $$

معادله سهموی معمولاً به صورت استاندارد یا بر حسب رئوس نوشته می شود. در ادامه فرمول خط تقارن سهموی را بر اساس این معادلات معرفی می کنیم.

فرم استاندارد معادله سهمی و خط تقارن

شکل استاندارد معادله سهموی به صورت زیر است:

$
y = ax^{2} + bx + c
$$

ضرایب موجود در معادله فوق اعداد واقعی هستند. از این معادله، فرمول محور تقارن سهمی به صورت زیر نوشته می شود:

$
x = – frac { b } { 2 a }
$$

معادله سهمی و خط تقارن بر حسب راس

معادله سهموی بر حسب راس به صورت زیر است:

$
y = a ( x – h ) ^ { 2 } + k
$$

$$ ( h , k ) $$ مختصات راس سهمی را نشان می دهد. بر این اساس فرمول محور تقارن سهمی به صورت زیر نوشته می شود:

$
x = h
$$

مثال 8: یافتن معادله محور تقارن سهموی

معادله خط تقارن سهموی زیر را بیابید:

$
y = x ^ { 2 } – 4 x + 3
$$

معادله سهموی فوق به صورت استاندارد نوشته شده است. بنابراین ما داریم:

$$ a = 1 $$

$$ b = – 4 $$

$$ c = 3 $$

معادله محور تقارن طبق فرم استاندارد معادله سهموی از فرمول زیر به دست می آید:

$
x = – frac { b } { 2 a }
$$

ضرایب شناخته شده را در فرمول بالا قرار می دهیم:

$$ x = – ( frac { – 4 } { 2 times 1 } ) $$

فیلم های آموزشی مرتبط

$$ x = – (-2) $$

$$ x = 2 $$

جدول خطوط تقارن اشکال هندسی

جدول زیر تعداد محورهای تقارن برخی از اشکال هندسی را نشان می دهد.

عنوان شکل
تعداد محور تقارن

سه‌ضلعی
مثث مختلف الاضلاع
۰

مثلث قائم الزاویه

0 (چند وجهی)

1 (متساوی الاضلاع)

مثلث متساوی الساقین
۱

مثلث متساوی الاضلاع
۳

چهارضلعی
متوازی الاضلاع
۰

مستطیل
۲

لوزی
۲

ذوزنقه مختلف الاضلاع
۰

ذوزنقه قائم الزاویه
۰

ذوزنقه متساوی الساقین
۱

مربع
۴

چندضلعی منتظم
سه ضلعی منتظم
۳

چها ضلعی منتظم
۴

پنج ضلعی منتظم
۵

شش ضلعی
۶

هفت ضلعی منتظم
۷

هشت ضلعی منتظم
 ۸

قطاع دایره
ربع دایره
۱

نیم‌دایره
۱

دایره کامل
بی‌نهایت

بیضی
۲

تفاوت بین محور تقارن و مرکز تقارن

در تقارن مرکزی، نقطه ای وجود دارد که با چرخش 180 درجه ای شکل به دور آن نقطه، شکل دوباره با خودش همسو می شود. به عبارت دیگر، با چرخش 180 درجه ای شکل به دور یک نقطه، تغییری در آن ایجاد نمی شود. این نقطه خاص “مرکز تقارن” نامیده می شود. تصویر زیر را در نظر بگیرید. این تصویر شکلی شبیه به حرف S در انگلیسی را نشان می دهد.

نقطه قرمز در تصویر بالا مرکز تقارن شکل است. اگر شکل را 180 درجه حول نقطه قرمز بچرخانیم دقیقا همان شکل ایجاد می شود. خطی که از مرکز تقارن می گذرد شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. تا اینجای کار این خاصیت هیچ تفاوتی با خاصیت محور تقارن ندارد. با این حال، اگر شکل را روی خط نشان داده شده در تصویر بالا تا کنیم، به نتیجه زیر می رسیم.

همانطور که می بینید، با تا کردن شکل روی خط از مرکز تقارن، دو طرف روی هم قرار نمی گیرند. تفاوت محور تقارن و نقطه تقارن در این مشخصه نهفته است.

سوالات متداول در مورد خطوط تقارن در هندسه

در این بخش به سوالات متداول در مورد خط یا محور تقارن به اختصار پاسخ می دهیم.

محور تقارن به چه معناست؟

خطی که یک شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند و با تا کردن شکل روی آن، دو قسمت مساوی کاملاً در کنار هم قرار می گیرند، خط یا محور تقارن است.

مربع چند محور تقارن دارد؟

تعداد محورهای مربع تقارن چهار است.

یک مستطیل چند محور تقارن دارد؟

یک مستطیل دارای دو محور تقارن است.

دایره چند محور تقارن دارد؟

تعداد محورهای تقارن دایره بی نهایت است.

مثلث چند محور تقارن دارد؟

در مثلث متساوی الاضلاع سه محور تقارن، در مثلث متساوی الساقین یک محور تقارن و در بقیه مثلث ها محور تقارن صفر وجود دارد.

متوازی الاضلاع چند محور تقارن دارد؟

متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد.

کدام خط خطی تقارن ندارد؟

در میان اشکال هندسی معروف متوازی الاضلاع، مثلث متساوی الاضلاع، ذوزنقه متساوی الاضلاع و ذوزنقه راست دارای محور تقارن نیستند.

هر n چند ضلعی منتظم چند محور تقارن دارد؟

هر n چند ضلعی منتظم n محور تقارن دارد. به عنوان مثال، یک هفت ضلعی منتظم دارای 7 محور تقارن است.

در کدام شکل قطر خط متقارن نیست؟

در میان اشکال هندسی معروف، در متوازی الاضلاع، ذوزنقه، مستطیل و مستطیل منظم با اضلاع فرد، قطر خط متقارن نیست.

کدام چهارضلعی محور تقارن ندارد؟

متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد.

کدام مثلث دارای سه محور تقارن است؟

یک مثلث متساوی الاضلاع دارای سه محور تقارن است.

یک پنج ضلعی چند محور تقارن دارد؟

یک پنج ضلعی منظم دارای 5 محور تقارن است.

یک شش ضلعی چند محور تقارن دارد؟

یک شش ضلعی منظم دارای 6 محور تقارن است.

یک بیضی چند محور تقارن دارد؟

بیضی دارای 2 محور تقارن است.

تفاوت بین محور تقارن و محور تقارن چیست؟

محور تقارن، محور تقارن است. به این خط، خط بازتاب نیز می گویند.

تفاوت بین محور تقارن و قطر چیست؟

قطر پاره خطی است که دو گوشه غیر مجاور یک چند ضلعی را به هم متصل می کند. برخی از قطرها نیز خطوط تقارن چند ضلعی هستند. با این حال، هر قطری یک محور تقارن را تشکیل نمی دهد.

تفاوت محور تقارن و تقارن چیست؟

متوازی الاضلاع شکلی است که در دو طرف محور تقارن قرار دارد. محور تقارن یک شکل آن شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

هر شکل چند محور تقارن دارد؟

اشکال نامتقارن دارای محور تقارن نیستند. دایره دارای محورهای بی شماری از تقارن است. شکل های متقارن دارای محور تقارن بین 0 تا بی نهایت هستند.

محور تقارن زاویه چه نامیده می شود؟

محور تقارن هر زاویه را نیمساز آن زاویه می گویند.

پاسخ منتخب

در پاسخ به: {{reply.reply_to.name }}

در پاسخ به

این پیام حذف شده است.

در سری آموزش های ریاضی و هندسه مجله فرادرس به معرفی برخی از اشکال هندسی مانند دایره، مثلث، مربع، مستطیل، الماس، بیضی و ذوزنقه پرداخته ایم. در این آموزش می خواهیم با شکل هندسی دیگری به نام متوازی الاضلاع آشنا شویم.

متوازی الاضلاع چیست؟

«متوازی الاضلاع» همانطور که از نامش پیداست، چهارضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی هستند.

اندازه اضلاع و زوایای مقابل در متوازی الاضلاع برابر است. شکل زیر متوازی الاضلاع را نشان می دهد که در آن فلش های کناره ها موازی اضلاع مقابل را نشان می دهد.

متوازی الاضلاع: در شکل بالا، $$AB$$، $$BC$$، $$CD$$ و $$DA$$ متوازی الاضلاع هستند.

رئوس متوازی الاضلاع: در شکل بالا، $$A$$، $$B$$، $$C$$ و $$D$$ را رئوس می نامند که محل ملاقات دو ضلع هستند.

متوازی الاضلاع زیر را در نظر بگیرید. بسته به این شکل، اصطلاحات مرتبط با این شکل هندسی را بیان می کنیم.

قانون متوازی الاضلاع: در متوازی الاضلاع بالای fhgh، $$b$$ قانونی است که معمولا (نه همیشه) در پایین و پایین شکل در نظر گرفته می شود.

ارتفاع متوازی الاضلاع: $$h$$ ارتفاع است که در واقع یک خط عمود از پایه بالا به پایه پایین است.

قطر متوازی الاضلاع: $$d$$ یکی از دو قطر متوازی الاضلاع است که دو راس مخالف را به هم متصل می کند.

نکته: مستطیل و لوزی و مربع همه انواع متوازی الاضلاع هستند زیرا طبق تعریفی که گفتیم هر دو دارای چهار ضلع هستند و اضلاع آنها به صورت جفت موازی هستند. مربع و مستطیل متوازی الاضلاع هستند که چهار زاویه قائمه دارند.

خواص متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع $$text{ABDC}$$ را در شکل زیر در نظر بگیرید.

با توجه به این شکل، ویژگی های مختلف متوازی الاضلاع را بیان می کنیم.

اضلاع مقابل متوازی الاضلاع نیز موازی هستند:

$$ large A B|D C text{ , } ;;; تبلیغات بریتیش کلمبیا $$

اندازه اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر است:

$$ large A B= D C text{ , } ;;; AD = B C $$

زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است:

$$ بزرگ زاویه A = زاویه C متن{ , };;; زاویه B = زاویه D $$

قطرهای متوازی الاضلاع یکدیگر را نصف می کنند:

$$ بزرگ D E = E B text{ , } ;;;AE = EC $$

$$ large begin {align*} angle ADC + Angle DCB & =180 ^circ
\ angle DCB + زاویه CBA & = 180 ^circ \
زاویه CBA & \angle 180 ^circ \
angle BAD + زاویه ADC & = 180 ^circ
end {align*} $$

هر مورب متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث متوازن تبدیل می کند:

$$ Delta text{DAB} $$ ترکیبی از $$ Delta text{BCD} $$ است.

$$Delta text{DAC}$$ ترکیبی از $$Delta text{BCA}$$ است.

قضایای متوازی الاضلاع

در این قسمت به بیان چند قضیه مربوط به متوازی الاضلاع می پردازیم.

قضیه متوازی الاضلاع اول

در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل با هم برابرند. عکس این قضیه نیز صادق است; اگر در یک چهار ضلعی اضلاع مقابل برابر با دو باشد، متوازی الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

فیلم های آموزشی مرتبط

در مثلث $$Delta ABC$$ و $$Delta CDA$$ داریم:

$$ large begin{align}
AC&=AC \
angle 1&=angle 4
\ angle 2&=angle 37575759999888$$end {al

به دلیل مساوی بودن دو زاویه و ضلع بین آنها، دو مثلث به اندازه دو زاویه و ضلع بین آنها (ز ز ز ز) همسو هستند و این بدان معنی است که اضلاع باید برابر باشند:

$$ large begin{align}{AB=DC;text{,};;;AD=BC} end{align} $$

این بدان معنی است که اضلاع مقابل برابر هستند.

قضیه متوازی الاضلاع دوم

در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند. عکس این قضیه نیز صادق است; اگر زوایای مقابل یک چهار ضلعی مساوی باشند متوازی الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

در مثلث $$Delta ABC$$ و $$Delta CDA$$ داریم:

$$ large begin{align}
AC&=AC \
angle 1&=angle 4
\ angle 2&=angle 37575759999888$$end {al

به دلیل مساوی بودن دو زاویه و ضلع جدا کننده آنها، دو مثلث به اندازه دو زاویه و ضلع جدا کننده آنها (ز ز ز ز) همسو هستند و این بدان معنی است که زاویه ها باید برابر باشند:

$$ large begin{align}{ angle B =angle D } end {align} $$

به همین ترتیب، ما داریم:

$$ large begin{align}{ angle A = زاویه C } end {align} $$

این بدان معنی است که زوایای مقابل برابر هستند.

قضیه متوازی الاضلاع سوم

در متوازی الاضلاع، قطرها در وسط یکدیگر را قطع می کنند. عکس این قضیه نیز صادق است; اگر قطرها در یک چهار ضلعی همدیگر را قطع کنند متوازی الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

در مثلث های $$Delta AEB$$ و $$Delta DEC$$ داریم:

$$ large begin{align}
AB&=CD \
angle 1&=angle 3
\ angle 2&=angle 47575759999888$$end {al

به دلیل مساوی بودن دو زاویه و ضلع جداکننده، دو مثلث با ملاک دو زاویه و ضلع جداکننده آنها (ز ز ز ز) همگن هستند و این بدان معناست که داریم:

$$ large begin{align}{AE=EC;text{,};;;BE=ED} end{align} $$

بنابراین، دو قطر یکدیگر را نصف می کنند.

قضیه متوازی الاضلاع چهارم

در یک چهارضلعی، اگر یکی از جفت ضلع های مقابل برابر و موازی باشد، آن شکل متوازی الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

در مثلث های $$Delta AEB$$ و $$Delta DEC$$ داریم:

$$ large begin{align}
AB&=CD \
angle 1&=angle 3
\ angle 2&=angle 47575759999888$$end {al

به دلیل مساوی بودن دو زاویه و ضلع جداکننده، دو مثلث با ملاک دو زاویه و ضلع جداکننده آنها (ز ز ز ز) همگن هستند و این بدان معناست که داریم:

$$ large begin{align}{AE=EC;text{,};;;BE=ED} end{align} $$

بنابراین، قطرهای $$AC$$ و $$BD$$ یکدیگر را نصف می کنند، به این معنی که $$ABCD$$ متوازی الاضلاع است.

مساحت متوازی الاضلاع

به عبارت ساده، مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصلضرب قاعده و ارتفاع. برای درک بهتر، به تصویر زیر نگاه کنید. اگر ارتفاع را رسم کنید یک مثلث روی شکل ایجاد می شود که با حرکت مثلث به سمت دیگر متوازی الاضلاع را به مستطیل تبدیل می کند.

می دانیم که مساحت مستطیل از حاصل ضرب طول و عرض به دست می آید که عرض آن با ارتفاع برابر است. بنابراین، اگر $$A$$ مساحت، $$b$$ اندازه پایه و $$h$$ ارتفاع باشد، فرمول مساحت متوازی الاضلاع خواهد بود:

ارتفاع x پایه = مساحت متوازی الاضلاع

$$ large A = b times h $$

اگر علاقه مند به آشنایی بیشتر با رشته متوازی الاضلاع هستید، پیشنهاد می کنیم مقالات زیر را از مجله فرادرس مطالعه کنید:

فیلم های آموزشی مرتبط

محیط متوازی الاضلاع

برای محاسبه محیط متوازی الاضلاع باید اندازه چهار ضلع را اضافه کنید. از آنجایی که اضلاع مقابل برابر هستند، برای متوازی الاضلاع با اضلاع $$a $$ و $$b$$، محیط $$P$$ برابر است با:

(مجموع دو ضلع مجاور) × 2 = محیط متوازی الاضلاع

$$ large boxed {P = a + a + b + b = 2 a + 2 b = 2 (a+b)} $$

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد محاسبه محیط متوازی الاضلاع، پیشنهاد می کنیم مقالات زیر را از مجله فرادرس مطالعه کنید:

نمونه های متوازی الاضلاع

در این قسمت به نمونه هایی از متوازی الاضلاع می پردازیم.

اولین مثال متوازی الاضلاع

محیط متوازی الاضلاع زیر برابر با 16 سانتی متر است. اگر اندازه ضلع آن $$b$$ برابر با 5 سانتی متر است، اندازه ضلع $$a$$ را پیدا کنید.

راه حل: از فرمول محیط متوازی الاضلاع استفاده می کنیم و اندازه ضلع $$ a $$ را محاسبه می کنیم:

$$ large P = 2 a + 2 b Rightarrow 16 = 2a + 2 (5)Rightarrow 2a = 6 Rightarrow a = 3 , text{cm} $$

مثال دوم متوازی الاضلاع

مساحت متوازی الاضلاع زیر را بیابید.

راه حل: با توجه به اینکه طول یک ضلع (7 سانتی متر) و ارتفاع عمود بر آن (3 سانتی متر) داریم، به راحتی می توانیم مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه کنیم:

$$large A={7~text {cm}}times{3~ text{cm}}={21~text {cm}}^{2} $$

مقاله ای که در بالا خواندید بخشی از مجموعه “محاسبه محیط و مساحت متوازی الاضلاع – هر آنچه که باید بدانید” است. در ادامه می توانید لیست این مطالب را مشاهده کنید: