چرا در مستطیل قطر ها برابرند

14369 بازدید آخرین به روز رسانی: 27 خرداد 1402 زمان مطالعه: 7 دقیقه

قطر مستطیل همان پاره خطی است که گوشه های مقابل آن را به هم متصل می کند. برای هر مستطیل دو مورب با اندازه مساوی می توان رسم کرد. اندازه این قطرها از قضیه فیثاغورث به دست می آید. همچنین با داشتن این اندازه و اندازه یکی از اضلاع، می توان محیط و مساحت مستطیل را تعیین کرد. در این آموزش مجله فرادرس به معرفی خواص، فرمول ها و اثبات یکی از خواص قطر مستطیل در حین حل چندین مثال مختلف می پردازیم. به علاوه، در پایان آموزش، به برخی از متداول ترین سؤالات در مورد قطر مستطیل پاسخ می دهیم.

فهرست مطالب این نوشته

قطر چقدر است؟

در اشکال هندسی چند ضلعی مانند مربع، مستطیل، لوزی و … اگر گوشه های مقابل را با یک پاره خط به هم وصل کنیم، قطر شکل به دست می آید.

تصویر زیر قطر چند ضلعی منظم را نشان می دهد.

مثلث، تنها چند ضلعی منتظمی است که هیچ قطری ندارد.

مستطیل چیست؟

مستطیل یک شکل چهار ضلعی است. اضلاع مقابل این شکل برابر است. همچنین اضلاع مجاور در زوایای قائم یکدیگر را قطع می کنند. در واقع یک مستطیل متوازی الاضلاع است که تمام گوشه های آن دارای زوایای 90 درجه هستند.

یک مستطیل از چه اجزایی تشکیل شده است؟

برخی از مهم ترین اجزای مستطیل، علاوه بر اضلاع و زوایای آن، زوایای داخلی، زوایای خارجی و قطر هستند. از این مولفه ها برای محاسبه ابعاد مهم مستطیل مانند محیط و مساحت آن استفاده می شود. به طور کلی، طول و عرض (اضلاع بلند و اضلاع کوتاه) یک مستطیل اندازه گیری اولیه در محاسبه محیط و مساحت است. با این حال، تعیین محیط و مساحت با قطر نیز امکان پذیر است.

قطر مستطیل چقدر است؟

پاره خطی که دو گوشه غیر مجاور یک مستطیل را به هم متصل می کند «قطر» نامیده می شود. پاره خط (a c) یکی از قطرهای مستطیل است.

همانطور که می بینید، می توان یک پاره خط دیگر از گوشه (ب) به گوشه (ج) رسم کرد. این پاره خط، قطر دوم مستطیل خواهد بود. به این ترتیب، هر مستطیل می تواند دو قطر داشته باشد. در قسمت زیر به ارائه مشخصات این دو قطر می پردازیم.

قطر مستطیل چه ویژگی هایی دارد؟

برخی از مهمترین خواص قطر مستطیل در زیر آورده شده است:

قطر مستطیل برابر است.

قطرهای مستطیل به دو قسمت مساوی تقسیم می شوند. به عبارت دیگر قطر مستطیل ها با یکدیگر برابر است.

هر قطر یک مستطیل آن را به دو مثلث قائم الزاویه تبدیل می کند. به عبارت دیگر با رسم قطر مستطیل دو مثلث با مساحت مساوی تشکیل می شود.

اندازه قطرهای مستطیل با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست می آید.

دو زاویه تند (کمتر از 90 درجه) و دو زاویه منفرد (بیشتر از 90 درجه) در محل تلاقی قطرهای مستطیل تشکیل می شود. به عبارت دیگر، قطرهای مستطیل در زاویه 90 درجه (آنها عمود بر یکدیگر نیستند) همدیگر را قطع نمی کنند.

مستطیلی که قطرهای آن عمود بر هم باشند مربع نامیده می شود.

مثال 1: رسم قطرهای یک مستطیل

طول یک مستطیل 12 سانتی متر و عرض آن 5 سانتی متر است. قطرهای مستطیل را رسم کنید.

بهترین ابزار برای رسم مستطیل گونی است. با استفاده از این ابزار می توان دو خط عمود بر هم رسم کرد. به کمک گونیا یک مستطیل رسم می کنیم و گوشه های آن را نامگذاری می کنیم.

اضلاع کوتاه (5 سانتی متر) نشان دهنده عرض مستطیل و اضلاع بلند (12 سانتی متر) نشان دهنده طول مستطیل است.

برای ترسیم مورب های مستطیل، مدادمان را روی یکی از گوشه ها (مانند گوشه A) قرار می دهیم. سپس یک پاره از این گوشه به گوشه مقابل می کشیم (مانند گوشه C).

حالا مداد را روی گوشه (ب) می گذاریم و یک قطعه به سمت گوشه (d) می کشیم. به این ترتیب دو قطر مستطیل را رسم کرده ایم.

مثال 2: تعیین اندازه قسمت های مختلف قطر مستطیل

مستطیل ترسیم شده در مثال قبل را در نظر بگیرید. قطر این مستطیل برابر با 13 سانتی متر است. نقاط مختلف قطر را با علامت سوال مشخص کرده ایم. به جای علامت سوال عدد مناسب را قرار دهید.

اندازه هر قطر مستطیل بالا 13 سانتی متر است. می دانیم که قطرهای یک مستطیل در وسط خود قطع می شوند. بنابراین اندازه علامت سوال در هر قسمت مستطیلی برابر با نصف قطر یا 5.7 سانتی متر است.

چگونه قطر یک مستطیل را محاسبه می کنیم؟

قطر مستطیل با استفاده از قضیه فیثاغورث در مثلث های قائم الزاویه محاسبه می شود. مثلث قائم الزاویه زیر را در نظر بگیرید.

در مثلث بالا رابطه زیر بین وتر و پایه های مثلث ABC وجود دارد:

$
c^2 = a^2 + b^2
$$

c: باشه

a: پایه اول

b: پای دوم

این رابطه را قضیه فیثاغورث می نامند. حالا مستطیل ABCD را در نظر بگیرید. مطابق تصویر زیر قطر AC را در این مستطیل رسم می کنیم.

همانطور که می بینید، با رسم قطر AC، مستطیل ABCD به دو مثلث ABC و ADC تبدیل می شود. زاویه گوشه هر مستطیل 90 درجه است. بنابراین مثلث های تشکیل شده در تصویر بالا قائم الزاویه هستند و از قضیه فیثاغورث پیروی می کنند. به عنوان مثال، رابطه فیثاغورث برای مثلث ABC خواهد بود:

$75757599888AC^2 = AB^2 + BC^2
$$

AC: قطر مستطیل

AB: عرض مستطیل

BC: طول مستطیل

در ریاضیات، قطر مستطیل به طور کلی با حرف d، عرض مستطیل با حرف w و طول مستطیل با حرف l نمایش داده می شود. بر این اساس فرمول قطر مستطیل به صورت زیر است:

$75757599888d^2 = w^2 + l^2
$$

مثال 3: محاسبه قطر مستطیل از طول و عرض

طول مستطیل 12 سانتی متر و عرض آن 5 سانتی متر است. قطر مستطیل را پیدا کنید.

برای حل مشکل، رابطه بین قطر مستطیل و ضلع را می نویسیم:

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$75757599888d^2 = w^2 + l^2
$$

d: قطر مستطیل

w: عرض مستطیل 5 سانتی متر است

l: طول مستطیل برابر با 12 سانتی متر است.

$75757599888d^2 = 5^2 + 12^2
$$

$75757599888d^2 = 25 + 144
$$

$75757599888d^2 = 169
$$

$
d= sqrt {169}
$$

$
d= 13
$$

بر این اساس قطر مستطیل 13 سانتی متر است.

محیط مستطیل را با قطر حساب کنید

محیط مستطیل با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط مستطیل

(عرض + طول) × 2 = محیط مستطیل

بر اساس فرمول های بالا برای محاسبه محیط مستطیل به طول و عرض آن نیاز داریم. در قسمت قبل دیدیم که اضلاع و مورب های مستطیل از قضیه فیثاغورث پیروی می کنند. بنابراین اگر اندازه یکی از اضلاع و قطر مستطیل مشخص باشد، می توان اندازه ضلع دوم و سپس محیط مستطیل را بدست آورد. فرمول ریاضی محیط مستطیل با قطر به شرح زیر است:

$75757599888P=2 a+2 sqrt{d^{2}-a^{2}}
$$

P: مستطیل محیطی

a: یکی از اضلاع مستطیل

d: قطر مستطیل

مثال 4: طول و محیط مستطیل را از قطر و عرض محاسبه کنید

طول یک مستطیل با قطر 17 و عرض 8 را محاسبه کنید. سپس محیط اطراف آن را بدست آورید.

برای محاسبه عرض مستطیل، قضیه فیثاغورث را می نویسیم:

$75757599888d^2 = w^2 + l^2
$$

d: قطر برابر با 17

w: عرض برابر با 8 است

l: طول

$
17^2 = w^2 + 8^2
$$

$
289 $ = w^2 + 64
$$

$75757599888w^2 = 289 -64
$$

$75757599888w^2 = 225
$$

$75757599888w = sqrt {22}
$$

$
w = 15
$$

طول مستطیل 15 است. اکنون اندازه گیری طول و عرض را در فرمول محیط قرار می دهیم:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط مستطیل

(8 × 2) + (15 × 2) = محیط مستطیل

(16) + (30) = محیط مستطیل

46 = محیط مستطیل

در نتیجه محیط مستطیل 46 است. در این مثال محیط را به صورت مرحله ای بدست آوردیم. اگر از فرمول خاص برای محاسبه محیط مستطیل با قطر استفاده کنیم، به همین پاسخ خواهیم رسید.

مساحت مستطیل را با قطر محاسبه کنید

اگر طول و عرض مستطیل مشخص باشد، مساحت آن با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

عرض x طول = مساحت مستطیل

اگر اندازه قطر و یکی از اضلاع مستطیل را داشته باشیم، می توانیم از فرمول زیر برای محاسبه مساحت استفاده کنیم:

$
A=a sqrt{d^{2}}a^{2}}
$$

A: منطقه

a: یک طرف

d: قطر

مشابه فرمول محیط یک مستطیل از قطر، فرمول فوق نیز با استفاده از قضیه فیثاغورث نوشته شده است.

مثال 5: محاسبه عرض و مساحت مستطیل از قطر و طول

قطر مستطیل 9 متر و طول آن 7 متر است. مساحت و عرض مستطیل را محاسبه کنید. (رادیکال 2 را برابر با 1/4 در نظر بگیرید.)

برای تعیین مساحت مستطیل با قطر، یک فرمول خاص برای آن می نویسیم:

$
A=a sqrt{d^{2}}a^{2}}
$$

A: منطقه

a: یکی از اضلاع برابر با 7 متر است.

d: قطر برابر * متر

$
A=7 timessqrt{9^{2}-7^{2}}
$$

$
A=7 timessqrt{81-49}
$$

$
A=7 times sqrt{32}
$$

$
A=7 times sqrt{2times 16}
$$

$75757599888A=7 times 4sqrt{2}
$$

$
A=28sqrt{2}
$$

$
A=28 برابر 1.4
$$

$75757599888A=39.2
$$

در نتیجه مساحت مستطیل برابر با 2.39 است.

اثبات برابری قطر مستطیل ها

برای اثبات مساوی قطر مستطیل ها از مفهوم مثلث استفاده می کنیم. اگر دو مثلث دارای اندازه یکسانی باشند، به آنها همگن گفته می شود.

مستطیل ABCD را در نظر بگیرید. در این مستطیل یک بار قطر AC و یک بار قطر BD می کشیم. برای اثبات مساوی بودن قطر مستطیل ها، حالات همخوانی مثلث های ABC و DCB را بررسی می کنیم.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

حالت های مختلف مثلث عبارتند از:

سه طرف (z z z z z)

دو ضلع و زاویه بین (z z z z)

دو زاویه و ضلع بین آنها (z z z z)

دو زاویه و یک ضلع (z z z z)

اگر هر یک از شرایط فوق بین دو مثلث وجود داشته باشد، این دو مثلث متجانس خواهند بود. در مستطیل ABCD داریم:

$75757599888AB_{ ABC } = DC_{ DCB }
$$

$75757599888BC_{ ABC } = BC_{ DCB }
$$

$
hat{B}=hat{C}=90^{circ}
$$

به این ترتیب دو ضلع و زاویه بین مثلث های ABC و DCB برابر است. بنابراین، این مثلث ها متجانس هستند. هم‌آمیزی ABC و DCB نشان می‌دهد که AC و DB برابر یا همان قطرهای مستطیل هستند. بر اساس این استدلال و با استفاده از شرط همزمانی می توان ثابت کرد که قطرهای مستطیل در نقاط میانی خود قطع می شوند.

سوالات متداول در مورد قطر مستطیل

در این مقاله مجله فرادرس با هم آشنا شدیم که قطر مستطیل چقدر است و چگونه محاسبه می شود. در این قسمت به چند سوال متداول در مورد قطر مستطیل به اختصار پاسخ می دهیم.

قطر مستطیل چقدر است؟

یک مستطیل دو قطر دارد.

آیا قطر مستطیل ها برابر است؟

آره. یک مستطیل دو قطر مساوی دارد.

چرا مستطیل ها با هم برابرند؟

با توجه به حالت دو ضلع و زاویه بین آنها (z z z z) قطر مستطیل برابر است.

آیا قطرهای مستطیل عمود بر هم هستند؟

خیر به طور کلی، قطر مستطیل ها عمود بر یکدیگر نیستند. اما اگر قطرهای یک مستطیل بر هم عمود باشند آن را مربع می گویند.

آیا قطر مستطیل ها با هم برابر است؟

آره. قطرهای مستطیل به دو قسمت مساوی تقسیم می شوند.

راه تودرتو برای اثبات مساوی بودن قطرهای یک مستطیل چیست؟

بر اساس همزمانی دو ضلع و زاویه بین آنها (z z z z) قطرهای مستطیل یکدیگر را نصف می کنند.

آیا قطرهای یک مستطیل عمود بر هم مساوی هستند؟

خیر از آنجایی که زاویه بین قطرهای مستطیل برابر با 90 درجه نیست، قطرهای مستطیل فقط با یکدیگر مساوی هستند و بر یکدیگر عمود نیستند.

آیا قطرهای یک مستطیل نیمساز هستند؟

خیر

آیا قطرهای مستطیل محور تقارن آن هستند؟

خیر اگر یک مستطیل را روی قطر آن خم کنیم، دو ضلع مستطیل با یکدیگر منطبق نیستند.

قطر مستطیل چگونه محاسبه می شود؟

روش اصلی محاسبه قطر مستطیل استفاده از قضیه فیثاغورث است.

مطلبی که در بالا خواندید بخشی از مجموعه «آموزش به دست آوردن محیط و مساحت مستطیل + حل تمرین و تمامی فرمول ها» است. در ادامه می توانید لیست این مطالب را مشاهده کنید:

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

۵۵۶۶ بازدید

آخرین به‌روزرسانی:
۱۱ اردیبهشت ۱۴۰۲

زمان مطالعه:
۸ دقیقه

در آموزش های قبلی مجله فرادرس با برخی از اشکال هندسی مانند دایره، مثلث و مربع آشنا شدیم. در این آموزش قصد داریم با مستطیل که یکی دیگر از شکل های مهم در هندسه است آشنا شویم.

فهرست مطالب این نوشته

فیلم آموزشی مستطیل و محاسبات آن

دانلود ویدیو

مستطیل چیست؟

«مستطیل» چهارضلعی مسطح است که دارای دو جفت ضلع و چهار زاویه داخلی آن قائم الزاویه (90 درجه) است.

شکل زیر یک مستطیل را نشان می دهد.

در شکل بالا علامت زاویه قائمه و علامت اضلاع مساوی با هم برابرند.

بنابراین، ما به شکل مستطیلی می گوییم که دارای ویژگی های زیر باشد:

چهار طرف دارد.

تمام زوایای داخلی آن باید برابر با 90⁰ باشد.

طول اضلاع مقابل با هم برابر است.

نکته: مربع یک نوع مستطیل است و مستطیل خود نوع خاصی از متوازی الاضلاع است.

ویژگی های مستطیل

ضلع کوتاه مستطیل را عرض مستطیل می نامند و معمولاً با حرف اول معادل انگلیسی آن یعنی $$w$$ نشان داده می شود.

همچنین ضلع بلند را طول می نامیم و معمولاً آن را $$l$$ نشان می دهیم. قطر مستطیل نیز پاره خطی است که دو راس مخالف را به هم متصل می کند. طول، عرض و قطر مستطیل در شکل زیر نشان داده شده است.

قطر مستطیل

همانطور که گفتیم قطر پاره خطی است که دو راس متضاد یک مستطیل را به هم متصل می کند. همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، هر مستطیل دارای دو قطر است.

دو قطر مستطیل مساوی هستند و در مرکز یکدیگر را قطع می کنند. وقتی قطر یک مستطیل را رسم می کنیم، مستطیل به دو مثلث قائم الزاویه تبدیل می شود و قطر مستطیل، وتر آن مثلث است. طبق قضیه فیثاغورث، طول وتر مثلث یا قطر مستطیل قابل محاسبه است. اندازه قطر برابر است با مربع مجموع مربع طول و مربع عرض:

فیلم‌های آموزشی مرتبط

(2عرض+2طول)√ = قطر

به عبارت دیگر، اگر اندازه طول $$l$$ باشد، اندازه عرض $$w$$ و اندازه قطر $$d$$ است، با توجه به اینکه طول و عرض عمود بر یکدیگر و همراه با قطر آنها یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند. می دهد، می توانیم بنویسیم:

$$ large d ^ 2 = w ^ 2 + l ^ 2 Rightarrow d = sqrt { w ^ 2 + l ^ 2 } $$

یک مستطیل بکشید

برای رسم مستطیل به یک نقاله، یک خط کش و یک مداد نیاز داریم. با استفاده از نقاله می توانید زاویه را اندازه گیری کنید. با استفاده از خط کش، می توانید خطوط را نیز ترسیم کنید و طول خطوط را اندازه بگیرید. برای رسم مستطیل، قسمتی به طول دلخواه بکشید. برای مثال ابتدا یک خط افقی به اندازه طول مستطیل بکشید. حالا مرکز نقاله را در دو سر قطعه قرار دهید و زاویه 90 درجه را مشخص کنید و با دایره علامت بزنید.

در مرحله بعد خط کش را طوری قرار دهید که نقطه شروع آن یکی از نقاط انتهایی پاره خط و نقطه دیگر آن نقطه ای باشد که با زاویه 90 درجه توسط گزارشگر مشخص کرده اید. یک قطعه به عرض مورد نظر بکشید. همین کار را برای دو نقطه دیگر در طرف دیگر پاره خط انجام دهید. حالا ما سه طرف داریم. طرف دیگر را بکشید و شکل را کامل کنید.

منطقه مستطیل شکل

مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول و عرض آن:

طول x عرض = مساحت

به عبارت دیگر، اگر طول برابر با $$l$$ و عرض برابر با $$w $$ باشد، مساحت مستطیل خواهد بود:

$$ large A = w times l $$

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد محاسبه مساحت مستطیل می توانید مقاله ” مساحت مستطیل – به زبان ساده (+ آموزش تصویری رایگان)” را در این لینک مطالعه کنید.

محیط مستطیل

محیط مسیری است که سطح یک شکل را احاطه کرده است. محیط یک مستطیل برابر است با مجموع چهار ضلع آن. از آنجایی که دو عرض و دو طول مستطیل با هم برابرند، می‌توان به طور ساده‌تر گفت که محیط مستطیل برابر است با مجموع طول و عرض، ضرب در 2:

(طول + عرض) × 2 = محیط

به عبارت دیگر، اگر طول برابر با $$l$$ و عرض $$w $$ باشد، محیط مستطیل برابر خواهد بود با:

$$ بزرگ P = w+l+w+l = 2 times (w+l) $$

برای درک کامل نحوه محاسبه محیط مستطیل پیشنهاد می کنیم مقاله ” محیط مستطیل و محاسبه آن – به زبان ساده (+ فیلم آموزشی رایگان) ” را در این لینک مطالعه کنید.

نمونه هایی از مستطیل ها

در این قسمت چند مثال روی مستطیل حل می کنیم.

مثال اول یک مستطیل است

مساحت یک مستطیل به طول 6 متر و عرض 3 متر چقدر است؟

راه حل: طول $$l= 6; m $$ و عرض $$ w = 3; ما m$$ داریم. مساحت برابر است با حاصل ضرب طول در عرض:

$$ large A = l times w = 6 ; m بار 3; m = 18; m^ 2 $ $

مثال مستطیل دوم

طول یک مستطیل 12 سانتی متر و عرض آن 5 سانتی متر است. محیط مستطیل را محاسبه کنید.

راه حل: دارای طول $$ l = 12; cm $$ و عرض $$ l = 5; cm $$، محیط مستطیل برابر است با:

$$ large P = 2 times (w + l ) = 2 times (5+12) = 34; c m $$

مثال مستطیل سوم

یک مستطیل به ابعاد 12 سانتی متر و 5 سانتی متر داریم. قطر آن چقدر است؟

راه حل: از رابطه ای که در بالا گفتیم استفاده می کنیم و قطر را بدست می آوریم:

$$ large d = sqrt { w ^ 2 + l ^ 2 } = sqrt {12^2 + 5 ^ 2 } = sqrt { 144 + 25 } = sqrt {169} = 13 ; سانتی متر $$

اگر می خواهید در مورد مستطیل ها و شکل های مستطیلی بیشتر بدانید، پیشنهاد می کنیم مطالب زیر را مطالعه کنید:

ارائه فیلم آموزشی هندسه (هندسه 1) پایه دهم

برای آشنایی بیشتر با مباحث اشکال هندسی پیشنهاد می کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه 1) تهیه شده توسط فرادرس مراجعه کنید. این آموزش تصویری 4 ساعت و 3 دقیقه ای از چهار درس تشکیل شده است.

در درس اول این آموزش، مباحث ترسیمات هندسی و استدلال توضیح داده شده است. مباحث درس دوم به قضیه تالس و تشابه مثلث ها و کاربرد آنها اختصاص دارد. در درس سوم مباحث مربوط به چند ضلعی ها و ویژگی های آنها و همچنین مساحت و کاربرد آنها توضیح داده شده است. در نهایت موضوع درس چهارم تجسم فضایی است که شامل خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر بصری می باشد.

مطلبی که در بالا خواندید بخشی از مجموعه «آموزش به دست آوردن محیط و مساحت مستطیل + حل تمرین و تمامی فرمول ها» است. در ادامه می توانید لیست این مطالب را مشاهده کنید:

منابع:

مجله فرادرس

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

سلام
این سوال در صفحه 48 تمرین
یک مستطیل رسم می کنیم و اسمش را می گذاریم ABCD
قطرهای مستطیل را رسم می کنیم و به این ترتیب مستطیل به دو مثلث تبدیل می شود ADC5=DBC99the.
قانون: AC = BD7575 7 5999888 دلیل C
زوایای مستطیل: درجه D=C=90
این دو مثلث ADC=DBC
نیز در موقعیت (Z Z Z) 75988588 قرار می گیرند.

اگر دوستش دارید، به آن مثبت بدهید.