چرا در تقسیم کسر ها کسر دوم معکوس میشود

امروز میخواهم به سوال یکی از کاربران سایت پرمخاطب پاسخ دهم که چرا در هنگام تقسیم کسرها کسر دوم را به صورت معکوس تبدیل می کنیم و عمل تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم. برای درک توضیحات ارائه شده در این مقاله آموزشی، داشتن درک درستی از معادلات و جبر ضروری است. با توجه به اینکه در کلاس هفتم معادلات ریاضی و جبر را یاد می گیرید، اگر سطح تحصیلات شما زیر هفتم باشد، درک این مقاله برای شما سخت خواهد بود.

چرا عمل تقسیم کسرها بر ضرب تقسیم می شود؟

اول بیایید ببینیم چرا در هنگام تقسیم کسرها، عملیات تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم. همانطور که می دانید، در ریاضی یک سری عملیات های معکوس داریم که به ما امکان انجام یک محاسبه به روش های مختلفی را می دهند. به عنوان مثال، معکوس عملیات جمع، عملیات تفریق می باشد. معکوس عملیات، عملیات اصلی را خنثی می کند و به نوعی ما را از پاسخ به سوال می رساند. برای درک این موضوع بیایید مثالی بزنیم.
$$
1+2=3 \
3 -2=1
$$
معکوس عملیات تقسیم نیز، عملیات ضرب می باشد. به مثال زیر توجه کنید:
$$
10 div 2 = 5 \
5 times 2 = 10
$$
اگر با جبر آشنا باشید، در جبر به جای اعداد از حروف الفبای انگلیسی استفاده می کنیم تا عباراتی کلی تر بنویسیم که نشان دهندۀ قوانین ریاضی می باشند.
$$
a div b = c \
c times b = a
$$
تا اینجای کار دانستیم که بین ضرب و تقسیم یک رابطۀ معکوس وجود دارد و زیاد هم به یکدیگر نامرتبط نیستند. در واقع تمامی تقسیم ها را می توانیم با ضرب نیز نشان دهیم. با این پیش زمینه، به سراغ سوال دوم می رویم.

چرا هنگام تقسیم کسرها کسر دوم را به صورت معکوس تبدیل می کنیم؟

برای درک این موضوع از یک مثال استفاده می کنیم. برای اینکه راحت تر مثال را درک کنید، در بخشی از مثال از اعداد صحیح و در بخش دیگرش از با اعداد کسری استفاده کرده ایم.
$$
30 div frac{3}{4} = x
$$
در اینجا یک عملیات تقسیم داریم. البته علاوه بر عملیات تقسیم، یک معادله نیز داریم. هر معادله (برابری) در ریاضی یک سری قوانین دارد. به عنوان مثال، اگر به دو طرف یک معادله، مقداری را اضافه کنیم، معادله برقرار می ماند. اگر از هر دو طرف یک معادله مقداری را کم کنیم، باز هم معادله برقرار می ماند. اگر هر دو طرف معادله را در عددی ضرب کنیم، معادله برقرار می ماند. اگر هر دو طرف معادله را بر عددی تقسیم کنیم، باز هم معادله برقرار می ماند. منظور از معادله برقرار می ماند اینست که هنوز هم هر دو طرف معادله با یکدیگر برابر هستند.

در قسمت اول این مقاله یاد گرفتیم که می توانیم هر عمل تقسیم را با عمل معکوس آن یعنی ضرب بازنویسی کنیم. با این محاسبه، عملیات تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم:
$
30 div frac{3}{4} = x\
x times frac{3}{4} = 30758589$7589$7589$899. سوال تا الان با این حال، ما قصد داریم این معادله را برای شما حل کنیم تا مشکل را بهتر درک کنید. برای حل هر معادله ای، با استفاده از قوانین معادله، مقدار متغیر معادله (در اینجا (x)) را در یک طرف معادله ایزوله (منزوی، یعنی تنها گذاشته شده) می کنیم. اگر هر دو طرف این معادله را در کسری (frac{4}{3}) که معکوس (frac{3}{4}) است ضرب کنیم، مقدار (x) در سمت چپ معادله به تنهایی باقی خواهد ماند {4}{3}
$
ما می دانیم که حاصلضرب (frac{3}{4} times frac{4}{3}) برابر است با ( 1 ). بنابراین ما خواهیم داشت:
$
$ = 30 times frac{4}{3}\
x = 40
$
8، زمانی که کسری اول به چندقطبی گفته می‌شود. خلاصه ای از این عملیات به شما می گویند. در اصل باید به شما می گفتند که ابتدا عملیات تقسیم را با عمل معکوس آن به صورت ضرب بازنویسی کنید، سپس معادله حاصل را با استفاده از قوانین معادله حل کنید. با معکوس کردن کسر دوم و تبدیل عمل تقسیم به یک عمل ضرب، بدون دانستن این قوانین به روشی ساده به نتیجه صحیح می رسید.

نکته: در اینجا برای سادگی از مثال (30 div frac{3}{4}) استفاده کردیم اما اگر به جای (30 کسری) بگذاریم تفاوتی نخواهد داشت. in history does not create در اصل، (30) نیز برابر است با (frac{30}{1}) و این نیز یک کسری است. یعنی مثال ما نیز به این صورت است: (frac{30}{1} div frac{3}{4})

۲۲۵۹ بازدید

آخرین به‌روزرسانی:
۵ دی ۱۴۰۱

زمان مطالعه:
۱۱ دقیقه

به راحتی می توانیم اعداد صحیح را بشماریم و آنها را ضرب و تقسیم کنیم. اما در مواردی که فرد با اعداد کسری کار می کند، کار کمی دشوارتر و زمان بر خواهد بود. در چنین مواقعی چه کنیم؟ اگر کسی نصف برش از پیتزای شما را بخورد، چند تکه می ماند؟ مطمئناً دیگر 1 پیتزا یا 0 پیتزا نداریم. اینجاست که باید با کسرها و عملیات روی آنها آشنا شویم. در این آموزش قصد داریم نحوه تقسیم کسرها را یاد بگیریم.

فهرست مطالب این نوشته

کسر چیست؟

کسرها اعدادی هستند که با تقسیم تعریف می شوند و برای نشان دادن هر تعداد قسمت مساوی از یک چیزی استفاده می شوند. آنها اعداد واقعی به شکل $$ p q $$ هستند که $$ p $$ و $$ q $$ اعداد صحیح هستند. عدد $$p$$ را مخرج کسر و عدد $$q$$ را مخرج کسر می‌گویند. بنابراین در کسری $$ frac 23$$ عدد 2 صورت و عدد 3 مخرج کسری است و آن را “دو ثلث” می نامیم.

در اینجا یک نمایش تصویری از مفهوم تفریق است. به شکل زیر دقت کنید که به سه قسمت مساوی تقسیم شده و هر دو قسمت آبی هستند. گفته می شود که دو سوم این شکل آبی است و با $$ frac { 2 } { 3 } $$ نشان داده می شود.

فرآیندی که توسط آن این $$ frac 23 $$ بدست می‌آید را می‌توان در مراحل زیر بیان کرد:

1. ابتدا از کل شکل که 1 واحد است شروع می کنیم.

2. یک واحد را با توجه به مخرج (شماره 3) به سه قسمت مساوی (یعنی $$frac 13 $$) تقسیم می کنیم.

3. حاصل را در عدد صورت یعنی 2 ضرب می کنیم و کسری $$ frac 23 $$ را بدست می آوریم.

کسرها را می توان به سه دسته تقسیم کرد:

سرفصل کسری که در آن صورت از مخرج کوچکتر است، مانند $$ frac 45 $$

کسرهای نامناسبی که در آنها صورت از مخرج بزرگتر است، مانند $$ frac 7 4 $$.

عددی مختلط که یک جزء آن عدد کامل و یک قسمت آن کسری است. جزء کسری این عدد همیشه کسری است.

برای تقسیم کسرها باید بدانید که چگونه کسرها را ضرب کنید.

ضرب کسرها

ضرب کسرها کار آسانی است و برای انجام این کار باید سه مرحله ساده زیر را دنبال کنیم:

اعداد را با هم ضرب کنید

مخرج ها را با هم ضرب کنید

کسر را با تقسیم صورت و مخرج بر بزرگ ترین مقسوم علیه های رایج ساده کنید.

برای دانستن نحوه محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک به آموزش “بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست؟” – مشاهده به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

اولین مثال از ضرب کسرها

فرض کنید می خواهیم کسری $$ frac { 2 } { 3 } times frac { 9 } { 4 } $$ را ضرب کنیم.

راه حل: همانطور که گفتیم، صورت و مخرج را ضرب می کنیم و به دست می آوریم:

$$ large dfrac { 2 } { 3 } times dfrac{ 9 } { 4 } = dfrac { 2 times 9 } { 3 times 4 } = dfrac { 18 } { 12 } . $$

از آنجایی که بزرگترین مخرج مشترک بین دو عدد 12 و 18 6 است، درآمد و هزینه ها را بر این دو عدد تقسیم می کنیم تا کسر را ساده کنیم:

$$ large dfrac { 2 } { 3 } times dfrac{ 9 } { 4 } = dfrac { 2 times 9 } { 3 times 4 } = dfrac { 18 } { 12 } . $$

بنابراین، ما داریم:

$$ large frac { 2 } { 3 } times frac { 9 } { 4 } = frac { 3 } { 2 } $$

اگر کسر مختلط باشد ابتدا آن را به کسر نامناسب تبدیل کرده و طبق مراحلی که قبلا ذکر کردیم ضرب را انجام می دهیم. در ادامه نمونه ای از این مورد را بررسی خواهیم کرد.

مثال دوم ضرب کسر

محصول $$ frac { 2 } { 3 } times 2 frac { 3 } { 4 } $$ را دریافت کنید.

راه حل: ابتدا دو کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل می کنیم. بنابراین، ما داریم:

$$ large dfrac { 2 } { 3 } = dfrac { 1 times 3 + 2 } { 3 } = dfrac { 5 } { 3 } , quad 2 dfrac { 3 } { 4 } = dfrac { 2 times 4 + 3 } { 4 } = dfrac { 11 } { 4 } . $$

از آنجایی که بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد $55$$ و $$12$$ عدد $$1$$ است، پاسخ نهایی $$ frac {55}{12}$$ خواهد بود.

مراقب باشید چنین کاری را انجام ندهید:

$$ large dfrac { 2 } { 3 } times 2 dfrac { 3 } { 4 } neq ( 1 times 2 ) dfrac { 2 times 3 } { 3 times 4 } = 2 dfrac { 1 } { 2 } . $$

بیایید مثال دیگری بزنیم.

سومین مثال از ضرب کسرها

عبارت زیر را ساده کنید:

$$ large dfrac { 4 } { 5 } times 3 dfrac { 3 } { 2 } . $$

راه حل: ابتدا کسر مختلط را به کسر ساده تبدیل می کنیم:

$$ large frac { 3 } { 2 } = frac { 3 times 2 + 3 } { 2 } = frac { 9 } { 2 } . $$

بنابراین، ما داریم:

$$ large dfrac { 4 } { 5 } times 3 dfrac { 3 } { 2 } = dfrac { 4 } { 5 } times dfrac { 9 } { 2 } =dfrac { 4 times 9 } { 5 times 2 } = dfrac { 3 6 } { 1 0 } = dfrac { 1 8 } { 5 } $$

مثال چهارم ضرب کسر

حاصل ضرب عبارت زیر را بدست آورید:

$$ large frac { 2 } { 3 } times 1 frac { 3 } { 4 } times frac { 6 } { 5 } . $$

راه حل: ابتدا کسر مختلط را به کسر ساده تبدیل می کنیم:

$$ large 1 frac 34 = frac 75 $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large dfrac { 2 } { 3 } times dfrac { 7 } { 4 } times dfrac { 6 } { 5 } = dfrac { 2 times 7 times 6 } { 3 times 4 بار 5 } = dfrac { 8 4 } { 6 0 } = dfrac { 7 } { 5 } $$

تقسیم کسرها با استفاده از ضرب

تقسیم کسر بسیار شبیه ضرب کسر است. اگر یاد بگیرید که چگونه کسرها را در یکدیگر ضرب کنید، در تقسیم کسرها مشکلی نخواهید داشت.

ما می توانیم کسرها را با انجام زیر تقسیم کنیم:

هنگام تقسیم دو کسر، ابتدا مشخص کنید که کدام کسری مقسوم علیه است (عدد تقسیم شده) و کدام کسری مقسوم علیه است (کسری که بر آن تقسیم می شود).

صورت و مخرج کسر را عوض کنید. به عبارت دیگر، مقسوم علیه را برگردانید یا معکوس کنید.

حال مقسوم علیه جدید و مقسوم علیه جدید را در هم ضرب کنید.

مقسوم علیه و مقسوم علیه جدید را با هم ضرب کنید.

شکل زیر مراحل این کار را برای دو کسر نشان می دهد.

اگر به زبان ساده منظورمان این است که برای تقسیم دو کسر باید صورت و مخرج را تغییر داده و در کسر بالا ضرب کنیم.

مثلاً می خواهیم تقسیم بندی انجام دهیم. می خواهیم $$ frac 12 $$ را بر $$ frac 13 $$ تقسیم کنیم. این تقسیم را می توان به یکی از دو شکل نوشت:

$$ large frac 12 div frac 13 $$ یا $$ large frac {frac 12}{frac 13}$$

از آنچه گفتیم ابتدا مقسوم علیه و مقسوم علیه را تعریف می کنیم. در این تقسیم تقسیم کننده $$ frac 12 $$ و مقسوم علیه $$ frac 13 $$ است.

سپس مقسوم علیه را برعکس می کنیم و تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم. این بدان معنی است که ما خواهیم داشت:

$$ large frac 12 div frac 13 = frac 12 color {green} {times } frac {color {red} {3}}{color {red} {1}} = frac {1 times 3 } { 2 times 1 } = frac 3 2 $$

تقسیم کسرها روی محور

برای تقسیم کسرها روی محور، می‌توانیم چند حالت مختلف را بررسی کنیم که در ادامه به آن‌ها می‌پردازیم.

یک عدد را بر کسری تقسیم کنید

در این حالت یک عدد طبیعی بر یک عدد مختلط تقسیم می شود. به عنوان مثال، فرض کنید می خواهیم $$ 2 $$ را بر $$ frac 13 $$ تقسیم کنیم. ما می خواهیم این تقسیم را روی محور نمایش دهیم.

برای انجام این تقسیم ابتدا عدد $$ 2 $$ را روی محور نشان می دهیم و برای این کار دو واحد را در محور جدا می کنیم. سپس برای نمایش $$ frac 13 $$ ، هر واحد را به سه قسمت تقسیم می کنیم.

برای انجام تقسیم از صفر شروع می کنیم و می شماریم تا به عدد $$ 2 $$ برسیم.

می بینیم که عدد $$ frac 13 $$ شش است و بنابراین نتیجه تقسیم برابر با $ $ 6 $$ خواهد بود:

$$ large 2 div frac 13 = 6 $$

کسر را بر عدد تقسیم کنید

برای تقسیم کسری بر یک عدد ابتدا کسر روی محور را مشخص می کنیم و سپس آن را بر عدد تقسیم می کنیم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم $$ frac 12 div 3 $$ را تقسیم کنیم. ابتدا از مقسوم علیه شروع می کنیم و $$ frac 12 $$ را روی محور علامت گذاری می کنیم.

سپس این $$ frac 12 $$ را به سه قسمت تقسیم می کنیم و همین کار را برای سایر قسمت های محور انجام می دهیم.

حال باید ببینیم آن یک سومی که از نصف جدا کردیم چه کسری از واحد است. از شکل زیر می بینیم که قسمت مشخص شده $$ frac 16 $$ واحد است. این بدان معنی است که نتیجه تقسیم برابر با $$ frac 16 $$ است.

کسری را بر کسری تقسیم کنید

در این حالت کسری بر کسری دیگر تقسیم می شود. در محاسبه تقسیم دو کسر با استفاده از محور، باید اطمینان حاصل کنیم که مخرج آنها با یکدیگر برابر هستند و در غیر این صورت، مخرج ها را با ضرب صورت و مخرج یکی از کسرها یا هر دو در یک عدد مساوی کنیم. .

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم $$ frac 45 div frac 25 $$ را تقسیم کنیم. می بینیم که مخرج ها مساوی هستند. برای محاسبه نتیجه این تقسیم ابتدا عدد $$ frac 45 $$ را روی محور تعیین می کنیم.

برای تقسیم بر $$ frac 25 $$ ، از صفر شروع می کنیم و دو پنجم را بر دو پنجم جدا می کنیم تا $$ frac 45 $$ را بدست آوریم.

می بینیم که دو تا دو پنجم داریم و نتیجه تقسیم $$ 2 $$ می شود.

بیایید مثال دیگری بزنیم. فرض کنید می خواهیم $$ frac 322 div frac 14 $$ را تقسیم کنیم. برای این منظور، ابتدا مخرج ها را یکسان می کنیم (هر دو مخرج را به $$ 4 $$ تبدیل می کنیم):

$$ large frac 32 div frac 14 = frac 64 div frac 14 $$

ابتدا $$ frac 64 $$ را در محور مشخص می کنیم. سپس ربع به ربع حساب می کنیم تا به $$ frac 64 $$ برسیم. سپس تعداد $$ frac14 $$ را که از هم جدا کردیم می شماریم. می بینیم که تعداد آنها اعداد $$6 $$ است. در نتیجه، نتیجه تقسیم برابر با $$6 $$ خواهد بود.

تقسیم کسرها با استفاده از اشکال

این نوع تقسیم نیز دارای چند حالت است که به صورت جداگانه به بررسی آنها می پردازیم.

کسری کوچکتر از واحد را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم $$ frac 12 div 5 $$ را تقسیم کنیم. ابتدا $$ frac 12 $$ را با رقم مشخص می کنیم.

باید شکل را به پنج قسمت تقسیم کنیم.

حال یکی از این پنج قسمت را در نظر بگیرید. داخل این قسمت که علامت گذاری کردیم چقدر است؟ یک خانه نقاشی شده است. یک از 10. بنابراین، نتیجه تقسیم برابر با $$ frac {1}{10}$$ خواهد بود.

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری کمتر از واحد

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم حاصلضرب تقسیم $$ 2 div frac 12 $$ را محاسبه کنیم. برای این کار با استفاده از شکل ابتدا عدد $$ 2 $$ را مشخص می کنیم. برای این کار دو واحد کامل ترسیم می کنیم.

اکنون می خواهیم آن را بر $$ frac 12 $$ تقسیم کنیم. یعنی باید هر شکل را به دو قسمت تقسیم کنیم.

سپس یکی یکی تعداد شکل ها را بشمارید. می بینیم که چهار بر یک نیمه داریم. بنابراین پاسخ $$ 4 $$ است.

کسری کوچکتر از یک را بر کسری کوچکتر از یک تقسیم کنید

به عنوان مثال، می خواهیم نتیجه تقسیم $$ frac 67 div frac 2 7 $$ را بدست آوریم.

ابتدا $$ frac 67 $$ را با رقم مشخص می کنیم.

سپس باید قسمت رنگ شده را دو هفتم در دو هفتم از هم جدا کنید.

می بینیم که تعداد $$frac 27$$ به سه افزایش یافته است. بنابراین پاسخ تقسیم $$ بر 3 $$ است.

کسری بزرگتر از یک را بر کسری کوچکتر از یک تقسیم کنید

به عنوان مثال، ما می خواهیم حاصل تقسیم $$ 2 frac 23 div frac 23 $$ را محاسبه کنیم.

ابتدا $$ 2 frac 23 $$ را با شکل نشان می دهیم.

بعد، باید $$ frac 23 $$ را تقسیم کنیم. یعنی باید دو سوم و دو سوم شکل را جدا کنیم.

می بینیم که چهار تا دو سوم را از هم جدا کرده ایم. بنابراین، نتیجه تقسیم برابر با $ $ 4 $ $ خواهد بود.

نمونه ای از تقسیم کسرها

در این بخش به چند نمونه نگاه می کنیم.

اولین مثال از تقسیم کسرها

نتیجه عبارت زیر را بدست آورید:

$$ large frac { 2 0 } { 3 } – frac { 1 } { 9 } div left [ frac { 3 } { 7 } times left ( – frac { 1 } { 4 } راست ) times چپ ( -frac { 2 } { 3 } right ) ^ 2 right] $$

راه حل: ابتدا داخل پرانتز، سپس براکت ها را محاسبه می کنیم و خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} frac { 2 0 } {3 } -frac { 1 } { 9 } div left [ frac { 3 } { 7 } times left ( – frac { 1 } { 4 } right ) times left (- frac { 2 } { 3 } right ) ^ 2 right ] & = frac { 2 0 } { 3 } – frac { 1 } { 9 } div left [ frac { 3 } { 7 } times left (- frac { 1 } { 4 } right ) times left ( frac { 4 } { 9 } right ) right ] \ & = frac { 2 0 } { 3 } – frac { 1 } { 9 } div left [ frac { 3 } { 7 } times left ( – frac { 1 } { 9} راست ) right ] \ & = frac { 2 0 } { 3 } + frac { 1 } { 9 } div left [ frac { 3 } { 6 3 } right ] \ & = frac { 2 0 } { 3 } + چپ ( frac { 1 } { 9 } times frac { 6 3 } { 3 } right ) \ & = frac { 2 0 } { 3 } + left ( frac { 7 } { 3 } right ) \ & = frac { 2 7 } { 3 } \ & = 9 . _ square end {aligned} $$

مثال دوم تقسیم کسرها

عبارت زیر را ساده کنید:

$$ large frac { hspace {2mm} frac 2 3 hspace {2mm} }{ hspace {2mm} frac 2 7 hspace {2mm} } . $$

راه حل: برای ساده کردن هزینه کسرهای کوچک، صورت و مخرج کسر اصلی را در عدد $$ 21 $$ ضرب می کنیم. عدد $21$$ کمترین مضرب مشترک دو عدد $$ 3$$ و $$ 7 $$ است، در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ large frac { frac { 2 } { 3 } times 21 } { frac { 2 } { 7 } times 2 1 } = frac { 2 times 7 } { 2 times 3 } = frac { 1 4 } { 6 } = frac { 7 } { 3 } = 2 frac { 1 } { 3 } . $$

مثال سوم تقسیم کسرها

چند $$ frac 17 $$ در $$ 10 frac 2 5 $$ وجود دارد؟

راه حل: در واقع، این سوال از ما می خواهد که حاصل تقسیم $$ 10 frac 2 5 $$ بر $$ frac 17 $$ را محاسبه کنیم. ابتدا کسر مختلط را به کسر ساده تبدیل می کنیم و خواهیم داشت:

$$ large begin {تراز شده} 1 0 frac { 2 } { 5 } div frac { 1 } { 7 } & = frac { 5 2 } { 5 } div frac { 1 } { 7 } \ & = frac { 5 2 } { 5 } times 7 \ & = frac { 3 6 4 } { 5 } . end {aligned} $$

مثال چهارم تقسیم کسرها

نتیجه تقسیم عدد $$frac 12 $$ بر $$5$$ را بدست آورید

راه حل: در این مثال، مقسوم علیه $$ frac 12 $$ و مقسوم علیه $$ frac 51 $$ است. باز هم، ما فقط مراحل بالا را دنبال می کنیم. مقسوم علیه را برعکس می کنیم و علامت تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large frac 12 div5=frac 12 div frac 51 = frac 12 color {green} {times } frac {color {red} {1}}{color {red} { 5}} = frac {1 times 1 } { 2 times 5 } = frac {1}{10} $$

مثال پنجم تقسیم کسرها

حاصل تقسیم زیر را محاسبه کنید:

$$ large frac { 6 } { frac 13} $$

راه حل: ابتدا عدد $$ 6 $$ را به صورت $$ frac 61 $$ می نویسیم و تقسیم به صورت زیر خواهد بود:

$$ large frac { frac 61 } { frac 13} $$

طبق روشی که ذکر کردیم، کسر $$ frac 13 $$ را معکوس می کنیم و تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم:

$$ large frac { frac 61 } { frac 13} = frac 61div frac 13 = frac 61 times frac 31 = frac {6 times 3 } { 1 times 1 } = frac{18}{1} = 18 $$

نتیجه

در این آموزش با کسرها و نحوه تقسیم آنها آشنا شدیم. علاوه بر این روش های محاسبه نتیجه تقسیم کسرها را با استفاده از محور مختصات و با استفاده از اعداد یاد گرفتیم. در نهایت چند نمونه را همراه با راهکارهای آن ها بررسی کرده ایم.

منابع:

مجله فرادرس

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

بخش؛ در بین مفاهیم مربوط به کسر
کسر یکی از مفاهیم مهم ریاضی است که به دلیل کاربرد فراوان در ریاضیات و زندگی روزمره انسان از اهمیت بالایی برخوردار است. اما با وجود این، افراد در یادگیری و کار با این مفهوم مشکلات زیادی دارند. مفهوم تقسیم کسری نمونه ای از مفاهیم مربوط به کسرها است که مردم دچار سوء تفاهم می شوند. اگرچه بسیاری ممکن است توانایی محاسبه عبارات مربوط به تقسیم کسرها را با استفاده از قانون “معکوس و ضرب” یا به عبارت ساده تر “کسر اول ضرب در معکوس کسر دوم” داشته باشند، اما درک درستی از مفهوم تقسیم کسرها ، موقعیت های ریاضی و واقعی مربوطه با این مفهوم و این عمل و اینکه چرا از این قاعده برای کسر استفاده نمی کنند. از سوی دیگر، افراد معمولاً مفهوم تقسیم اعداد طبیعی را به راحتی درک می کنند و این توانایی را دارند که محاسبه آن را به صورت معنادار انجام دهند. سوال مهم این است که چرا با وجود سهولت درک تقسیم اعداد طبیعی، در درک تقسیم اعداد کسری با مشکلات زیادی روبرو هستند؟ یک دلیل ممکن است این باشد که در طول آموزش، درک دانش‌آموز از تقسیم اعداد مختلط به خوبی در درک آنها از تقسیم اعداد طبیعی استوار نیست. به همین دلیل، او نمی تواند بین این دو مفهوم (تقسیم اعداد طبیعی و تقسیم کسرها) ارتباط معناداری برقرار کند و از درک خود از تقسیم اعداد طبیعی برای توسعه درک خود از تقسیم کسری استفاده کند. در این مقاله سعی بر این است تا با اشاره به ابعاد تقسیم کسری، رابطه معناداری با تقسیم اعداد طبیعی برقرار شود و از این طریق، چگونگی یادگیری مفهوم تقسیم کسرها در دانش آموزان تسهیل شود. طبیعی ها به چهار دسته تقسیم می شوند: 1. گروه ها و نرخ های مساوی. 2. مقایسه; 3. طرح و مساحت مستطیل شکل. 4. ترکیبات.

با توجه به اینکه عمل تقسیم برعکس عمل ضرب است، کلمات مسئله تقسیم نیز در این حوزه اعداد به دو دسته کلی «تقسیم جزئی» و «تقسیم بر اندازه» طبقه بندی می شوند. جدول 1 طبقه بندی مسائل را با مثال ها و رابطه بین مسائل ضرب و تقسیم نشان می دهد:

کسر و تقسیم
خیلی از دانش‌آموزان در تشخیص اینکه در چه موقعیت‌هایی می‌توان از مفهوم تقسیم کسرها استفاده کرد، مشکل دارند. برای مشاهده‌ی این واقعیت، پیشنهاد می‌شود از دانش‌آموزان کلاس خود بخواهید برای عبارت ۲/۳ ÷ ۴/۵ یک مسئله‌ی کلامی طرح کنند. به احتمال زیاد، مشاهده خواهید کرد که خیلی‌ها توانایی طرح مسئله‌ی مناسب و درست برای این عبارت را ندارند. دلیل این ضعف در این است که آن‌ها درک درستی از مفهوم تقسیم کسر و موقعیت‌هایی که این مفهوم می‌تواند در آن‌ها استفاده شود، ندارند. همچنین، می‌توانید از آن‌ها سؤال کنید چرا در تقسیم کسرها، کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنند. پاسخ این سؤال نیز می‌تواند نشان‌دهنده‌ی دانش مفهومی آن‌ها از نحوه‌ی انجام تقسیم کسر باشد.

دانش آموزان باید دو ایده تقسیم به قطعات مساوی و تکرار را درک کنند تا تقسیم به کسری را درک کنند. تقسیم به قسمت های مساوی همانطور که از نامش پیداست به معنای تقسیم یک شکل به قسمت هایی با اندازه مساوی است. تکرار نیز به معنای شمردن یا تکرار قطعات کسری است. تکرار می تواند به دانش آموزان کمک کند تا رابطه بین اجزاء (حساب) و کل (مخرج) را درک کنند. تکرار باید روی دو ایده در مورد نمادهای کسری متمرکز شود.

1. شماره بالا (چهره) به حساب می آید.

2. عدد پایین (مخرج) آنچه را که عدد بالایی (مصرف) به حساب می آورد بیان می کند.

به عنوان مثال، با توجه به کسری در شکل زیر که 3/4 است، دانش آموزان باید بفهمند یا بتوانند بفهمند که 3 نشان دهنده تعداد قسمت های شکل است که هر کدام 1/4 هستند. 5/7 یعنی تکرار یک بازی 5 بار. شکلی که 1/7 است. (1/7 × 5 = 5/7)

Dividing Fractions بر چهار نوع مسئله تمرکز دارد که در یک توالی در حال توسعه در کتاب های درسی ریاضی ابتدایی ارائه شده اند. جدول 2 این چهار نوع مسئله را به همراه ترتیب آنها در کتاب ها و مثال های آنها نشان می دهد:

اکنون هر یک از این مسائل را به تقسیم و اندازه ای که دانش آموزان در قلمرو اعداد طبیعی یاد گرفته اند مرتبط می کنیم تا بدین ترتیب درک آنها از تقسیم کسرها بر اساس دانش قبلی آنها از اعداد طبیعی و کاربردها باشد. بیایید در رابطه با اعداد طبیعی بسازیم.

تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی
. تقسیم یک جزء یا یک تقسیم مساوی زمینه مناسبی برای تفسیر تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی است. دانش آموزان به راحتی مفهوم اشتراک گذاری برابر را درک می کنند (مثلاً 4 کیک به طور مساوی بین 3 نفر تقسیم می شود). از آنجایی که این نوع تقسیم با تقسیم ارتباط اساسی دارد، وظایف مربوط به تقسیم مساوی بین چند نفر (توزیع برابر) یکی از زمینه های مناسب برای آموزش این نوع تقسیم است. حاصل این تقسیم می تواند یک قسمت کسری باشد. به عنوان مثال، اگر بخواهیم پنج کیک را به طور مساوی بین 3 نفر تقسیم کنیم (3÷5)، خواهید دید که سهم هر فرد 5 خواهد بود. شکل 7 نتایج این تقسیم را نشان می دهد:

در 3/5 = 1/3 × 5 = 3÷5 اولین عبارت (3÷5) به این معنی است که پنج کیک به طور مساوی بین 3 نفر تقسیم می شود. ترم دوم یعنی 1/3 هر کیک به هر نفر می رسد (سهم هر نفر از هر کیک) و ترم آخر (3/5) سهم هر نفر از همه کیک ها است. دانش آموزان باید بتوانند این ارتباط و معنای هر یک از این عبارات معادل را ببینند. دانش آموزان متوجه می شوند که تقسیم یک عدد بر یک عدد مانند ضرب یک عدد در کسری واحد است. یکی از نکاتی که در ابتدا باید مورد توجه آنها قرار گیرد نحوه تبدیل تقسیم به ضرب است. در پایان یادگیری نحوه تقسیم کسری، این توجه به آنها کمک می کند تا درک مفهومی خوبی از نحوه تقسیم کسری داشته باشند (چرا قانون “کسر اول ضرب در کسر دوم” صحیح است).

یک عدد طبیعی را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید

زمینه مناسب برای تفسیر این نوع مسائل، مانند مسائل مربوط به تقسیم یک عدد طبیعی به یک عدد طبیعی، تقسیمی است که دانش آموزان به کمک آن می توانند به راحتی این نوع تقسیم را تفسیر کنند و ریاضی را درک کنند. و موقعیت های واقعی مربوط به او. معمولاً در تقسیم (تقسیم مساوی) از دانش آموزان سؤالاتی مانند “سهم هر فرد چقدر است؟” », « سرعت هواپیما یا ماشین در ساعت را بیابید », « دوخت چادر چقدر پارچه نیاز دارد؟ همه باید به مقدار یا سهم هر گروه در تقسیم مساوی از مقدار کل داده شده مرتبط باشد. به عنوان مثال، در مقدمه این نوع مسائل در کتاب ریاضی CM2، از دانش آموزان خواسته شد که نتیجه تقسیم 1/3 زمین برای ساخت دو سالن ورزشی را پیدا کنند. شکل 8 نحوه رفع آن را نشان می دهد.

در فرآیند حل این نوع مسائل، دانش‌آموزان متوجه می‌شوند که مانند مسائل نوع اول (تقسیم یک عدد به عدد)، باید تقسیم را به ضرب تبدیل کنند. در صفحه 37 کتاب ریاضی پنجم ابتدایی، این مبحث برای دانش آموزان مفهوم سازی شده است (شکل 9). یکی از پیش نیازهای این مفهوم سازی، درک دانش آموزان از خاصیت جابجایی کسرهای ضربی است. در صفحه 34 این کتاب، دانش‌آموزان در قالب یک سؤال سعی کردند این قانون مربوط به ضرب کسرها را مانند ضرب اعداد حسابی درک کنند (شکل 9).

یکی از نکات آموزشی که می تواند برای دانش آموزان بسیار مفید باشد، استفاده از گفتگو و بحث در موقعیت هایی است که می توان از این نوع مسائل استفاده کرد. پرسیدن و بحث در مورد سوالی مانند این می تواند به دانش آموزان کمک زیادی کند:

چه موقعیت هایی ممکن است با عبارت 4 ÷ 1/5 مطابقت داشته باشد؟

بسیاری از موقعیت ها می توانند با این نوع مشکل مطابقت داشته باشند. این موقعیت ها را می توان به سه دسته طبقه بندی کرد: «مربوط به سطح، مدل های خطی و مجموعه ها». در اینجا یک مثال برای هر موقعیت آورده شده است:

1. می خواهیم 1/5 زمین را به طور مساوی بین 4 نفر تقسیم کنیم. چه کسری از زمین متعلق به هر فرد است؟ (حوزه)

2. اگر بخواهیم 1/5 آب کلمن را به طور مساوی در چهار ظرف بریزیم، در هر ظرف چه کسری از آب کلمن جا می شود؟ (خطی)

3. اگر علی بخواهد 1/5 از شکلات هایش را به طور مساوی بین 4 نفر از دوستانش تقسیم کند، به هر کدام چند شکلات می رسد؟ (مجموعه)

پس از تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی، دانش آموزان ممکن است در موقعیت هایی قرار بگیرند که اعداد مختلط بر یک عدد طبیعی تقسیم شوند. سوالی مانند “مریم می خواهد با یک گز پارچه چهار روبان هم اندازه بسازد، هر روبان چند گز می شود” مناسب خواهد بود. دانش آموزان می توانند برای حل این مشکل از روش های مختلفی استفاده کنند. یک روش این است که یک عدد مختلط را به کسری تبدیل کنید و از قاعده ای که در مورد تقسیم کسری به یک عدد طبیعی آموخته اید استفاده کنید. یا می توانند این مشکل را به صورت مفهومی و با استفاده از ابزارهای دستی و تصویری حل کنند. برای مثال جدول 3 دو راه را برای حل این مشکل نشان می دهد.

علاوه بر این نوع مسائل که دانش آموزان می توانند مسائل مربوط به تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی را بدون نیاز به توزیع مجدد ارقام حل کنند، باید با مشکلاتی روبرو شوند که در آن دانش آموزان باید واحدها و اجزای کسر را دوباره توزیع کنند. برای حل مشکلی که نیاز دارند. به عنوان مثال، برای حل مشکل زیر، دانش آموزان باید قطعات را با استفاده از نمایش های غیر عددی توزیع کنند.

مریم برای انجام 3 تکلیف مدرسه به 1/4 ساعت زمان نیاز دارد. اگر این زمان را به طور مساوی برای انجام این 3 کار تقسیم کند، برای انجام هر یک از این کارها چقدر زمان اختصاص می یابد؟

جدول 4 حل این مشکل را با سه مدل سطح، خط و مجموعه نشان می دهد. البته دانش‌آموزان می‌توانند این مشکل را با استفاده از قانون تقسیم در ضرب حل کنند، اما علاوه بر آن، استفاده از این الگوهای تصویری می‌تواند به آنها در درک نحوه تقسیم کسری کمک کند.

در این مقاله ضمن بررسی مسائل مربوط به ضرب و تقسیم اعداد طبیعی به بررسی دو نوع مسئله تقسیم کسری پرداخته ایم. در هر دو مورد، متوجه شده اید که می توان آنها را به راحتی با تقسیم آنها به قسمت ها تفسیر و درک کرد. این موضوع به دانش آموزان کمک می کند تا نحوه تقسیم کسرها را درک کنند. در مقاله بعدی به دو نوع دیگر از مسائل تقسیم کسری (تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری و تقسیم کسری بر کسری) و نحوه تفسیر آنها با استفاده از دو تقسیم و اندازه خواهیم پرداخت.

پی نوشت :
1 کسری واحد کسری است که صورت آن 1 باشد

منبع:
1. زهرا پندی، خسرو داودی و دیگران. (1397). ریاضی پنجم ابتدایی 21. گرایش عمومی چاپ و توزیع کتب درسی. چاپ چهارم
2. مهدی یزدی محمد حسن بیژن زاده و دیگران. (1397). ریاضی پایه ششم. 34/6. اداره کل چاپ و توزیع کتب درسی. ویرایش سوم.

3. Van de Walle, J.A., Lovin, L.H., Karp, K.S. & Bay-Williams, J.M. (2014). آموزش ریاضیات دانش آموز محور: آموزش مناسب رشد برای دانش آموزان مهدکودک به دانش آموزان پایه دوم (جلد اول) (تدریس مجموعه ریاضی دانش آموز محور).

تقسیم کسری: قسمت دوم

کلیدواژه: برنامه درسی – ریاضی ، تقسیم کسرها ، محاسبه قطعات ،