چرا از تقریب استفاده می کنیم

9659 بازدید آخرین به روز رسانی: 21 تیر 1402 زمان مطالعه: 7 دقیقه

تقریب یکی از کارهای رایج در ریاضیات است که به ویژه در امور روزمره مانند فعالیت های اقتصادی کاربرد دارد. در این آموزش از مجله فرادرس با انواع تقریب در ریاضی آشنا می شویم و به حل مثال های مختلف می پردازیم.

فهرست مطالب این نوشته

آشتی چیست؟

احتمالاً در جایی شنیده اید که مثلاً «جمعیت ایران حدود 85 میلیون نفر است» یا «فاصله تهران تا اصفهان 400 کیلومتر است». واضح است که تقریباً به طور قطع جمعیت ایران دقیقاً 85 میلیون نفر نیست و این عدد تقریبی است. مثلا ممکن است عدد دقیق آن ۸۴۸۷۳۳۴۶ باشد یا فاصله تهران تا اصفهان ۴۳۱ کیلومتر باشد. این دو مثال به ما نشان می دهد که تقریب چیست و در ریاضیات چه کاربردی دارد. تقریب در ریاضیات به معنای تبدیل یک عدد به یک عدد به اصطلاح رند است که درک آن برای مخاطب آسان است و می تواند به سرعت با آن آشنا شود.

روش های تقریب در ریاضیات

برای تقریب در ریاضی دو روش کلی وجود دارد که یکی گرد کردن و دیگری بریدن است. که در بخش های بعدی به آن خواهیم پرداخت.

روش برش اعداد طبیعی

این روش بسیار ساده است. همانطور که از نامش پیداست، عدد را از جایی به جای دیگر کوتاه می کنیم، یعنی ارقام آن را حذف می کنیم.

به عنوان مثال، فرض کنید ما عدد 2572 را داریم که تعداد محصولات یک شرکت در یک زمان خاص است. اگر مدیر شرکت بخواهد تقریباً این عدد را در جمع مدیران شرکت های دیگر بیان کند، می تواند جزییات را نادیده بگیرد و بگوید شرکت او حدود 2500 محصول تولید کرده است.

در اینجا عدد 72 = 2500-2572 تولید شده را حذف کرد و دو رقم آخر یعنی یک ها و ده ها را به اصطلاح قطع کرد و آنها را به صفر تبدیل کرد. در واقع آن دو عدد برایش مهم نبود، چون خود عدد آنقدر بزرگ بود که آن دو عدد تاثیر چندانی نداشت.

دقت کنید که سه رقم آخر را قطع نکرده و 2000 را نگفت چون این عدد با عدد اصلی تفاوت زیادی دارد و ممکن است خروجی شرکت را بسیار کمتر از مقدار واقعی نشان دهد.

اما تقریب در این مثال چقدر دقیق بود؟ برای بیان تقریب ابتدا می بینیم که عددی را حذف کرده ایم. در اینجا عددی که ما حذف کردیم برابر با 72 است. باید ببینیم نزدیکترین مضرب 10 به این عدد که از آن بزرگتر است چیست. عدد 100 پاسخ است. بنابراین دقت تقریب در این مثال کمتر از 100 است.

بنابراین وقتی می گوییم تقریب کمتر از 1 به معنای خود عدد است، وقتی می گوییم تقریب کمتر از 10 به معنای صفر قرار دادن یک ها، وقتی می گوییم تقریب کمتر از 100 به معنای صفر کردن آن ها است. ده ها و غیره برای سایر تقریب ها.

برای آشنایی بیشتر با مباحث ریاضی در دبیرستان پیشنهاد می کنیم به مجموعه ویدئویی دوره های فوق برنامه دبیرستان و پیش دانشگاهی مراجعه کنید که لینک آن در زیر آمده است.

برای دیدن مجموعه فیلم دوره های متوسطه و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

روش تقسیم اعداد اعشاری

روش برش برای اعداد اعشاری دقیقاً مشابه اعداد کامل است. تنها تفاوت این است که علاوه بر تقریب های کمتر از 1، 10، 100، 1000 و غیره، در اینجا تقریب اعداد کمتر از 1، یعنی کمتر از 0.1، کمتر از 0، 01، کمتر از 0.001 و … است. انجام شده.

به عنوان مثال، فرض کنید می خواهیم تقریب عدد 123.74 را با روش برش بنویسیم. یکی برای تقریبی کمتر از 10 و دیگری تقریبی کمتر از 0.1.

برای تقریبی کمتر از 10، فقط ارقامی که ارزش مکانی آنها کمتر از 10 است را به 0 تبدیل کنید. بنابراین، این عدد را خواهیم داشت: 120.00. همانطور که می دانیم، صفرهای بعد از اعشار ارزشی به عدد اضافه نمی کند. بنابراین 120.00 معادل 120 است. بنابراین، اگر عدد 123.74 را با تقریب کمتر از 10 برش دهیم، عدد 120 به دست می آید.

اگر بخواهیم عددی را با تقریبی کمتر از 0.1 کوتاه کنیم، باید ارقامی که مقدار آنها کمتر از یک دهم است را به صفر تبدیل کنیم. بنابراین برای این مثال به عدد 123.70 یا 123.7 می رسیم.

در روش تقریب با برش موارد زیر را داریم:

اول اینکه در این روش عدد اصلی همیشه بزرگتر از عدد تقریبی است، زیرا بخشی از عدد اصلی را برای تقریب بریده ایم.

اگر تفاوت عدد اصلی و تقریبی را محاسبه کنیم، می بینیم که عدد به دست آمده کمتر از مقدار تقریبی است. به عنوان مثال، اگر تقریب 10 باشد، اختلاف بین دو عدد کمتر از 10 خواهد بود.

روش گرد کردن اعداد طبیعی

در روش گرد کردن، به نزدیکی بین اعداد تکیه می کنیم. در واقع با توجه به مقدار تقریبی، نزدیکترین عدد رند را به عددی که داریم انتخاب می کنیم. برای روشن شدن این موضوع به مثال ابتدای آموزش برمی گردیم. فرض کنید رئیس شرکت می خواهد تعداد تقریبی محصولات تولید شده را به روش گرد کردن یا به اصطلاح گرد کردن تعداد را بیان کند. تقریبی که می خواهد در نظر بگیرد کمتر از 100 است به عدد 2572 نگاه می کند اگر دقت 100 را در نظر بگیریم یعنی عددی کمتر از 100 را به آن عدد اضافه کنیم یا عددی کمتر از 100 را از آن کم کنیم تا عدد تقریبی عدد عددی است که دو رقم آن در سمت راست برابر با صفر است. دو رقم سمت راست صفر می شود، یعنی یک ها و ده ها صفر می شوند، یعنی تقریب کمتر از 100 است.

حالا برگردیم به اعداد. اگر این عدد را به 28 اضافه کنیم، 2600 به دست می آید، اگر 72 را کم کنیم، 2500 می شود. اعداد 2500 و 2600 نزدیک به 100 از 2572 هستند. اما کدام را انتخاب کنیم؟ در روش گرد کردن باید ببینیم کدام یک از این دو عدد به عدد اصلی نزدیکتر است یا به عبارتی اختلاف کمتری با آن دارد. می بینیم که تفاوت عدد 2572 با عدد 2600 کمتر است. بنابراین ما این عدد را به عنوان نتیجه گرد انتخاب می کنیم.

در زندگی روزمره ما معمولا از روش گرد کردن بیشتر استفاده می کنیم.

برای آشنایی بیشتر با گرد کردن اعداد به آموزش ” اعداد گرد در ریاضیات ” بروید. به زبان ساده مراجعه کنید.

روش گرد کردن اعداد اعشاری

برای گرد کردن اعداد اعشاری، مانند گرد کردن اعداد طبیعی برای تقریب در ریاضیات عمل می کنیم. برای مثال، فرض کنید می خواهیم عدد 23.14 را به دقت کمتر از 0.1 گرد کنیم. برای این کار ابتدا یک عدد کوچکتر و یک عدد بزرگتر از این عدد پیدا می کنیم که دقت آنها کمتر از 0.1 است. برای این منظور به دو عدد 23.10 یا Hamlen 23.1 و شماره 23.20 یا 23.2 می رسیم. حالا ما چیزی شبیه به این داریم:

23.2 > 23.14 > 23.1

عدد 23.14 به کدام یک از این دو عدد نزدیکتر است؟ می بینیم که عدد 23.14 به عدد 23.1 نزدیکتر است. بنابراین تقریب عدد 23.14 با گرد کردن و در نظر گرفتن تقریب کمتر از 0.1 عدد 23.1 خواهد بود.

توجه داشته باشید که در روش گرد کردن، عدد تقریبی گاهی کوچکتر از عدد اصلی و گاهی بزرگتر است. همچنین خطای تقریب کمتر یا مساوی با خطای تقریب در روش برش است. بنابراین برای اینکه خطای کمتری داشته باشیم بهتر است از روش گرد کردن استفاده شود. اهمیت خطا تفاوت بین عدد اصلی و عدد تقریبی است.

نمونه هایی از تقریب در ریاضیات

در این بخش به چند نمونه از تقریب در ریاضیات می پردازیم.

مثال کوتاه کردن اعداد طبیعی

اعداد داده شده را با تقریب مشخص شده برش دهید.

الف) 653 با تقریب کمتر از 1

ب) 43 با تقریب کمتر از 10

ج) 74168 با تقریب کمتر از 100

ت) 93 با تقریب کمتر از 100

د) 39862 با تقریبی کمتر از 10000

پاسخ

پاسخ الف: تقریب این عدد با تقریب کمتر از 1 برابر است با خود عدد، زیرا این عدد چیزی کمتر از یک برای حذف ندارد.

پاسخ ب: در عدد 43 رقمی که مقدار آن کمتر از 10 است رقم یک است یعنی 3. برای به دست آوردن تقریب این عدد را برابر با صفر ثابت کرده و تقریب 40 را بدست می آوریم.

پاسخ س: کافیست واحدها و ارقامی که مقدار آنها کمتر از 100 است را برابر با صفر قرار دهید و به عدد 74100 برسید.

T پاسخ: باید ارقام ده ها و واحدها را صفر کنیم. بنابراین، کل عدد صفر می شود. در نتیجه، تقریب عدد 93 با دقت 100 برابر با 0 است.

: تقریباً برابر با 30000 خواهد بود.

مثال کوتاه کردن اعداد اعشاری

عدد اعشاری 5712.23 را در نظر بگیرید. برای دقت های زیر تقریبی از این عدد را بدست آورید.

الف) با تقریبی کمتر از یک هزارم

ب) با تقریبی کمتر از یک درصد

ج) با تقریبی کمتر از یک دهم

t) با تقریبی کمتر از 1

د) با تقریبی کمتر از 10

ج) با تقریبی کمتر از 100 برابر با 0 است

پاسخ

پاسخ الف: فقط عدد مربوط به ده هزارم را حذف کنید. تقریب در این مورد برابر با 23.571 است.

پاسخ ب: با حذف ده هزارم و هزارم به عدد 23.57 می رسیم.

پاسخ س: ارقام ده هزارم، هزارم و صدم را به صفر تبدیل می کنیم و عدد تقریبی 23.5 خواهیم داشت.

پاسخ: ارقام با مقدار کمتر از یک را حذف می کنیم. بنابراین تقریب برابر با 23 است.

Q پاسخ: ارقام با مقدار کمتر از ده را حذف می کنیم. تقریب در این مورد 20 است.

پاسخ ج: با حذف ارقام با مقدار کمتر از 100 به صفر می رسیم.

مثالی از گرد کردن اعداد طبیعی

اعداد زیر را به تقریب مورد نیاز گرد کنید.

الف) 653 با تقریب کمتر از 1

ب) 43 با تقریب کمتر از 10

ج) 74168 با تقریب کمتر از 100

ت) 93 با تقریب کمتر از 100

د) 39862 با تقریبی کمتر از 10000

پاسخ

پاسخ الف: تقریب این عدد با تقریب کمتر از 1 برابر است با خود عدد.

پاسخ ب: در عدد 43 رقمی را که مقدار آن کمتر از 10 است عدد یک را تغییر دهیم و بگوییم این عدد بین 40 تا 50 است با توجه به اینکه به عدد 40 نزدیکتر است به عدد 40 نزدیک شد.

پاسخ س: با توجه به دقت 100 این عدد بین 74100 تا 74200 می باشد که به عدد 74200 نزدیکتر است بنابراین تقریب 74200 خواهد بود.

پاسخ: عدد 93 بین 0 تا 100 است و به 100 نزدیکتر است بر این اساس عدد گرد شده 93 با دقت 100 برابر با 100 است.

: بین 30000 و 40000 است و به 40000 نزدیک تر است. بنابراین به 40000 می رسد.

مثال گرد کردن اعشار

عدد اعشاری 5712.23 را در نظر بگیرید. برای دقت های زیر تقریبی از این عدد را بدست آورید.

الف) با تقریبی کمتر از یک هزارم

ب) با تقریبی کمتر از یک درصد

ج) با تقریبی کمتر از یک دهم

t) با تقریبی کمتر از 1

د) با تقریبی کمتر از 10

ج) با تقریبی کمتر از 100 برابر با 0 است

پاسخ

پاسخ الف: با تقریبی کمتر از 0.001، این عدد بین 23.571 تا 23.572 است. با توجه به اینکه به 23.571 نزدیکتر است، پاسخ 23.571 خواهد بود.

پاسخ ب: عدد 23.5712 بین 23.57 و 23.58 با تقریب کمتر از یک درصد قرار دارد و چون به عدد اول نزدیکتر است پاسخ 23.57 است.

پاسخ س: این عدد بین 23.5 تا 23.6 است و چون به 23.6 نزدیکتر است این تقریب را انتخاب می کنیم.

پاسخ T: بین 23 و 24 است اما به 24 نزدیکتر است. بنابراین پاسخ 24 خواهد بود.

پاسخ س: با این تقریب بین 20 تا 30 است و چون به 20 نزدیکتر است عدد 20 را انتخاب می کنیم.

پاسخ ج: بین 0 تا 100 است و به 0 نزدیکتر است. بنابراین تقریب آن برابر با 0 خواهد بود.

نتیجه

در این آموزش از مجله فرادرس با تقریب در ریاضیات و روش های آن یعنی برش و گرد کردن آشنا شدیم. ما همچنین به این روش های بیان اعداد صحیح و اعشاری و مثال های مختلف نگاه کرده ایم.

منابع:

مجله فرادرس

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

مطالب مرتبط

برچسب‌ها

در زندگی روزمره ، متناسب با موضوعاتی که سروکارداریم در صورت نیازاز عددهای تقریبی به جای مقدارهای واقعی و دقیق استفاده می کنیم.

جمعيـت ايـران هشـتاد ميليـون نفـر اسـت»؛
 «توليد سـالانه ی سـيب يـک بـاغ ۳۴۰۰کيلوگـرم اسـت»؛ 
«فاصلـه ی تهـران تـا اصفهـان،  ۶۰۰کيلومتـر اسـت».
ايـن جمله هـا و مشـابه آنهـا را هـر روز يـا می شـنويم يـا می گوييـم. امـا معنـی عددهايی کـه در ايـن جمله ها بيـان می شـوند چيسـت؟
 آيـا دقيقـاً هشـتاد ميليون نفـر در ايـران زندگی می کننـد؟ 
يـا درسـت ۳۴۰۰کيلـو سـيب از آن بـاغ به دسـت آمده اسـت؟
يـا از تهـران تـا اصفهـان درسـت ۶۰۰کيلومتر راه اسـت؟
 قطعاً پاسخ همه ی ايـن سـؤالات «خيـر» اســــت. ايـن عددهـا مقدارهـای تقريبـی جمعيت، توليـد سـيب و فاصلـه هسـتند، نـه مقـدار دقيـق آنهـا. حـال اين سـؤال مطـرح می شـود کـه مقـدار دقيـق بـا مقـدار تقريبـی چقـدر اختلـاف دارد؟ يعنـی ميـزان خطـا در ايـن تقريب ها چقـدر اسـت؟ بـرای اينکـه بتوانيم به ايـن سـؤال پاسـخ دهيـم، بايـد بدانيم ايـن اعداد تقريبـی از روی اعداد اصلی چگونــه به دسـت آمـــده اند و دقـت تقريـب چقـدر بوده اسـت؟

انواع تقریب زدن
دو روش برای تقريب زدن عددها وجود دارد: قطع کردن؛ گرد کردن.
۱.قطع کردن عدد
در تقريـب بـه روش قطـع کـردن، از بعضی رقم های عـدد اصلی، صرف نظـر می کنيم.
انـگار داريـم عدد را می بُريم. مثلاً محصول امسـال باغ سـيبی ۱۴۸۹کيلوگرم اسـت.
ممکـن اسـت بـرای حمل سـيب ها بـا کاميـون، دانسـتن مقدار دقيـق آنهـا در حد زيـر صـد کيلوگـرم نياز نباشـد. در اين صـورت می گوييـم محصول باغ تقريبـاً ۱۴۰۰کيلوگـرم اسـت. درواقـع، از مقـدار رقم هـای مرتبه هـای يـکان و دهـگان کـه از صـد کوچکتـر هسـتند، صرف نظـر می کنيـم. بـه ايـن ترتيـب، اختـلاف مقـدار واقعی ازمقدار تقريبی ۸۹= ۱۴۰۰- ۱۴۸۹اسـت و ۸۹ از۱۰۰ ( دقت تقريب) کوچکتر اسـت.
بـد نيسـت روی محـور اعداد حقيقی نيـز به ايـن عددها نگاهـی بيندازيم:
ايـن موضـوع در حالـت کلی نيز برقرار اسـت: يعنی اگـر بخواهيم عـددی را با تقريب کمتـر از ( ۱۰nيعنـی ۱کـه n تـا صفـر جلويـش اسـت) تقريب بزنيـم، بايـد از مقدار رقم هايـی کـه ارزش مکانـی آنهـا از ۱۰nکوچکتـر اسـت، صرفنظر کنيـم. درواقع آن رقم هـا را برمی داريـم و بـه جايشـان صفـر می گذاريـم.
مثالهـای زيـر را ببينيد:
مثال ۱٫ هر عدد با تقريب خواسته شده قطع شده است:
۵۳۸ با تقريب کمتر از ۱برابر است با خود ۵۳۸
۲۶با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۲۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۷۴۵۰۰
۹۸با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰۰۰برابر است با ۷۰۰۰۰
در مورد اعداد اعشاری نيز دقيقاً همينطور است:
۱۶۷۴/۴۵ با تقريب کمتر از يک هزارم برابر است با ۱۶۷/۴۵
با تقريب کمتر از يکصدم برابر است با ۱۶/۴۵
با تقريب کمتر از يکدهم برابر است با ۱/۴۵
با تقريب کمتر از ۱برابر است با ۴۵
با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۴۰
با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با .۰

توجه كنيد كه در قطع كردن اعداد

  ۱٫ عـدد تقريبـی هميشـه از عـدد اصلـی کوچکتـر اسـت. بـه هميـن دليـل، گاهـی   اصطلاحاً می گوييـم اعـداد را بـا «تقريـب نُقصانـی» تقريـب زده ايـم.
۲٫ اختاف عدد اصلی با عدد تقريبی از دقت تقريب کوچکتر است.
۳٫ دقت تقريب، توانی از ۱۰است و با ارزش های مکانی اعداد متناظر است.
۴٫ بايد ارزش مکانی را به خوبی بشناسيم.

در پایه دوم ابتدایی  از دانش آموزان اینطور سوال می کنیم ، که به طور مثال:
۱٫عدد ۳۴۷ را به صورت تقریبی “باحذف رقم یکان” بنویس.
جواب:  ۳۴۰
توضیح: “رقم یکان حذف” و به جای آن”۰” قرار می دهیم بقیه ی عدد ها بدون تغییر نوشته می شوند.

۲٫عدد ۳۴۷ را به صورت تقریبی “باحذف رقم یکان و دهگان ” بنویس.
جواب: ۳۰۰
توضیح: “رقم یکان و دهگان حذف” و به جای آن”۰” قرار می دهیم بقیه ی عدد ها بدون تغییر نوشته می شوند.

۲.گرد کردن عدد
بـار ديگـر بـه داسـتان بـاغ سـيب برگرديم. محصـول يک سـال اين بـاغ ۱۴۸۹ کيلوگـرم بـود، ولـی ما برای راحتـی کار و اينکه در عمل نيازی به دانسـتن مقدار دقيـق وزن سـيبها تـا زير صـد کيلوگـرم نداشـتيم، از ۸۹ کيلوگـرم صرف نظر کرديـم و محصـول بـاغ را ۱۴۰۰کيلوگـرم اعـلام  کرديـم. امـا تـه ذهنمـان اين موضـوع هسـت کـه گرچـه ۸۹ کيلوگـرم از ۱۰۰ کيلوگرم کمتر اسـت و احتمالاً
در کار مـا تأثيـری نخواهـد داشـت، ولی اين مقـدار خيلی به۱۰۰نزديک اسـت. در واقـع، از روی محـور اعـداد معلوم اسـت کـه ۱۴۸۹ به ۱۵۰۰نزديکتر اسـت تـا به ۱۴۰۰.
شـکل زيـر را ببينيد:

در بسـياری از مسـئله های عملـی و واقعـی، از روش ديگـری بـرای تقريب زدن اسـتفاده می شـود که خطـای آن در مـواردی کمتر از خطـای روش قطع کردن اسـت. ايـن روش بـه گرد کردن معروف اسـت وگاهی حتـی در صحبت های عادیمـان نيـز بـه درسـت يـا غلـط، از اصطـاح «این عـدد را گـردش کن» اسـتفاده می کنيـم. اکنـون ببينيـم در روش گرد کـردن چگونه عـدد تقريبی از عـدد اصلی بـه دسـت می آيد؟

اکنون مثالهای زير را ببينيد:
مثال ۲. هر عدد با تقريب خواسته شده گرد شده است:
۵۳۸ با تقريب کمتر از ۱برابر است با خود ۵۳۸
۲۶با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۳۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۷۴۶۰۰
۹۸با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۱۰۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰۰۰برابر است با ۷۰۰۰۰
در مورد اعداد اعشاری نيز دقیقاً همينطور است:
۴۵/۱۶۷۴با تقريب کمتر از يک هزارم، برابر است با ۴۵/۱۶۷
با تقريب کمتر از يک صدم، برابر است با ۴۵/۱۷
با تقريب کمتر از يک دهم برابر است با ۴۵/۲
با تقريب کمتر از ۱برابر است با ۴۵
با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۵۰
با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۰

توجه كنيد كه در گرد كردن اعداد:
۱.عدد تقريبی گاهی از عدد اصلی کوچکتر است و گاهی بزرگتر.
۲.دقت تقريب، توانی از ۱۰است و با ارزشهای مکانی اعداد متناظر است.
۳.اختاف عدد اصلی با عدد تقريبی از دقت تقريب کوچکتر است.
۴.خطای تقريب کمتر يا برابر با خطای تقريب در روش قطع کردن است.
۵.بايـد ارزش مکانـی را به خوبی بشناسـيم و بتوانيم روی محـور اعداد حقيقی جايـگاه اعداد را نسـبت به يکديگـر تعيين کنيم.

گرد کردن در پایه دوم ابتدایی اینطور آمده ، که به طور مثال:
۱.عدد ۴۷ را به صورت تقریبی  بنویس.
جواب:  ۵۰
توضیح : باید ببینیم عدد ۴۷ به ۴۰ نزدیکتره یا ۵۰ ، می بینیم که به ۵۰ نزدیکتره.
۲٫ عدد۴۳ را به صورت تقریبی  بنویس.
جواب:  ۴۰ 
توضیح : باید ببینیم عدد۴۳ به ۴۰ نزدیکتره یا ۵۰ ، می بینیم که به ۴۰ نزدیکتره.

به سؤالهای زير فكر كنيد:
۱. عـدد ۱۸۹۸۱را بـا تقريـب کمتر از صـد، يک بار قطع
کنيد.يک بـار گـرد کنيـد. دو عـدد تقريبی به دسـت آمده
را بـا هم مقايسـه کنيـد. چه توضيحـی داريد؟

۲. عـدد ۱۹۸/۹۸۱را بـا تقريـب کمتـر از يکصـدم،
يکبـار قطـع کنيد و يکبـار گرد کنيـد. دو عدد تقريبی
به دسـتآمده را بـا هـم مقايسـه کنيـد. چـه توضيحـی
داريد؟
۳.عـددی را بـا تقريـب کمتـر از ،۱۰۰ يکبـار قطـع
کرديـم. يک بـار گـرد کرديم. بيشـترين اختلاف اين دو
عـدد تقريبـی چـه می توانـد باشـد؟ چـرا؟
۴.عـددی را بـا تقريب کمتـر از ۱۰۰قطـع کرديم، عدد
۱۷۰۰بـه دسـت آمـد. آن عدد چيسـت؟ چرا؟
۵. عـددی را بـا تقريـب کمتـر از ۱۰۰گـرد کرديم، عدد
۱۷۰۰بـه دسـت آمـد. آن عدد چيسـت؟ چرا؟

پاسخ سؤا ل ها
۱. در گِـرد کـردن، چـون رقم دهـگان ۸و از ۵
بزرگتـر اسـت، پـس از قطـع کـردن ، ۸۱يـک
واحـد بـه رقم صـدگان يعنی ۹ اضافه می شـود.
منتهـا نمی توانيـم در ايـن مرتبه ۱۰بنويسـيم.
بنابرايـن، يـک واحـد بـه مرتبـه ی بعـد، يعنـی
يـکان هـزار، اضافـه می شـود و بـه ۹تبديـل
می شـود و حاصل، ۱۹۰۰۰اسـت. قطع شـده ی
آن ۱۸۹۰۰اسـت.

۲. در گـرد کـردن، چـون رقـم يک هـزارم، ۱
اسـت و از ۵  کمتـر اسـت، پـس بعـد از قطـع
کـردن ،۱رقـم صـدم تغييـری نمی کنـد و
۱۹۸/۹۸بـه دسـت می آيـد. قطع شـده ی عدد
نيـز هميـن ۱۹۸/۹۸خواهـد بـود.

۳. بيشـترين اختاف ايـن دو تقريب ۱۰۰واحد
اسـت. چون اگر گرد شـدهی آن بـه عدد بالايی
باشـد، قطع شـدهاش هم که عدد پايينی اسـت
و در تقريـب بـا دقـت ،۱۰۰ايـن دو عـدد ۱۰۰
واحـد فاصلـه دارند. روی محور اعـداد برای خود
ترسـيم کنيـد و ببينيـد. شـکل ۲نيـز در درک
ايـن موضوع به شـما کمـک می کند.

۴.از ۱۷۰۰تا  ۱۷۹۹. دليل را شما بگوييد.

۵.از ۱۶۵۰تا  ۱۷۵۰و دليل را شما بگوييد.

برای تکرار و تمرین جمع و تفریق تقریبی پایه ی دوم  می توانید  محتوای الکترونیکی جمع و تفریق فرایندی را از سایت پاک مدیا تهیه بفرمایید.

مجله توسعه آموزش ابتدایی با اندکی تغییر

گروه آیین و اندیشه «سدید»; حجت الاسلام مهدی فرمانیان; وی متولد 1352 کاشان، معاون پژوهشی دانشگاه، مولف چندین جلد کتاب و نویسنده مقالات متعدد و مدیر سابق دانشکده مذاهب اسلامی دانشگاه ادیان و مذاهب بود. فرمانیان سال هاست که در مراکز علمی مختلف در مقطع دکتری تدریس می کند. وی همچنین ریاست مؤسسه مطالعات بنیادهای دینی و عضویت در شورای علمی مؤسسات و مراکز مختلف علمی و پژوهشی در حوزه مذاهب اسلامی را در کارنامه علمی و اجرایی خود برشمرد. وی در حال حاضر معاون پژوهشی و هیئت علمی دانشگاه ادیان و مذاهب است و در زمینه تقریب مذاهب اسلامی فعالیت می کند.

40 سال از انقلاب اسلامی می گذرد و از اولین سال های پس از انقلاب بحث وحدت اسلامی در کشور مطرح شده است. مشکلی که در سال های اخیر و با توجه به تحولات منطقه به طور فزاینده ای مورد توجه عموم مسلمانان قرار گرفته است. از دیدگاه شما مفاهیمی که امروزه در مورد وحدت اسلامی وجود دارد به چند دسته تقسیم می شود؟

به نظر می‌رسد در کشور ما همه از کلمات وحدت و تقریب استفاده می‌کنند، اما چهار مفهوم مختلف را از آن برداشت می‌کنند. در اکثر اوقات منظور از تقریب، مفهوم نخست آن یعنی وحدت سیاسی است؛ به آن معنا که اختلافات مذهبی می‌تواند وجود داشته باشد، اما جمهوری اسلامی ایران با سیاستمداران جهان اسلام بر سر هفت یا هشت مسئله که در جهان اسلام وجود دارد به وحدت نظری، تعامل و همگرایی برسد. به نظر می‌رسد که امام خمینی (ره) نیز با این روش موافق بودند.
مفهوم دومی که از تقریب برداشت می‌شود، وحدت به معنای تقریب بین اندیشه‌های تشیع و اهل سنت است و بر این موضوع مقام معظم رهبری تاکید دارند. نوع وحدتی که در اینجا مطرح است مقداری وسیع‌تر است، یعنی ما تنها در بحث‌های سیاسی وحدت نداریم بلکه در بحث‌های دیگر نیز می‌توانیم وحدت داشته باشیم.
به طور مثال تمام جهان اسلام درباره جامعه فلسطین با یکدیگر وحدت دارند. در واقع استعمار آمده و این مصیبت را برای جهان اسلام ایجاد کرده است و ما بر روی این موضوع وحدت سیاسی داریم، اما باید اندیشه‌هایمان را به یکدیگر نزدیک کنیم. واقعیت این است، در ۱۴۰۰ سال گذشته مخصوصا در ۲۰۰ سالی که وهابیت آمده است، بسیاری از مسائل اختلافی بین جهان اسلام پررنگ‌تر شده است و آمریکا، اسرائیل، عربستان و… بسیار به دنبال پررنگ‌شدن این اختلافات هستند. در صورتی که مسلمانان مشترکات بسیاری دارند.
اگر یک سنی با نگاه تقریب (نزدیک کردن اندیشه‌ها) به صورت همدلانه به شیعه نگاه کند، متوجه می‌شود که اندیشه شیعه با اهل سنت خیلی نزدیک است و اگر یک فرد شیعه همدلانه به اهل سنت توجه کند به این موضوع دست می‌یابد که هیچ ربطی به تقسیم و تشبیه ندارد. پس چرا باید دیگران را به مشبه، مجسمه و… متهم کرد؟

بنده معتقدم در بسیاری از مسائلی که مسلمانان با یکدیگر اختلاف دارند باید تفسیر‌ها به یکدیگر نزدیکتر شود. مثلاً در باب خدا، ما اهل سنت را به مشبه و مجسمه و… متهم می‌کنیم و از سوی دیگر آن‌ها می‌گویند که شما معطله هستید، اما وقتی تفسیر اهل سنت و شیعه را درباره صفات خدا در نظر می‌گیریم، متوجه نزدیکی این تقسیر به یکدیگر می‌شویم یعنی نه آن‌ها تشبیهی و نه ما تعطیلی هستیم. پس اگر یک سنی با نگاه تقریب (نزدیک کردن اندیشه‌ها) به صورت همدلانه به شیعه نگاه کند، متوجه می‌شود که اندیشه شیعه با اهل سنت خیلی نزدیک است و اگر یک فرد شیعه همدلانه به اهل سنت توجه کند به این موضوع دست می‌یابد که هیچ ربطی به تقسیم و تشبیه ندارد. پس چرا باید دیگران را به مشبه، مجسمه و… متهم کرد؟ این موضوع می‌شود تقریب اندیشه‌ها. مقام معظم رهبری درصدد تحقق این نوع تقریب بودند، اما به دلیل اعمال سلیقه‌های کارگزاران، شاید ۱۰ درصد در این زمینه موفق بوده ایم. این موضوع هم بازمی‌گردد به اینکه این تفکر آدم‌های نخبه قوی برای تبیین تاکنون نداشته است. مشکلی که در حوزه علمیه قم وجود دارد این است که ما آدم تقریبی تربیت نمی‌کنیم. به طور کلی در حوزه علمیه، سنی و شیعه آدم تقریبی تربیت نمی‌شود بلکه ادم تفریقی تربیت می‌کنند. به این دلیل که اهل سنت برای معرفی خود، به پررنگ‌تر کردن اختلافات در حوزه علمیه‌اش می‌پردازد، چرا که این موضوع قشنگ‌تر خود را نشان می‌دهد.
در حوزه علمیه شیعیان نیز همین کار را انجام می‌دهیم یعنی ما نیز در صدد پررنگ‌تر کردن فاصله هستیم تا به وضوح اندیشه مذهب ما مشخص شود، در صورتی که بسیار راحت می‌توانستند این مسئله را کمرنگ کنند همان طور که در طول تاریخ در بین اهل سنت و شیعه این اتفاقات افتاده است. به طور مثال، اختلافات ما با علویان سوریه به مراتب بیشتر با اهل سنت است. علویان سوریه، از نظر فکری غالی هستند و دورتر از اهل سنت به ما هستند. امام راحل و مقام معظم رهبری بعد از انقلاب به دنبال آن بودند تا علویان را به سمت وحدت جذب کنند بنابراین درصدد کمرنگ کردن اختلافات بپاخاستند. چه اتفاقی افتاد؟ آن‌ها با این اقدام احساس نزدیکی به ما کردند و ما هم به آن‌ها احساس نزدیکی می‌کنیم، اما متاسفانه نسبت به اهل سنت پررنگی اختلافات وجود دارد.
مقام معظم رهبری به دنبال این هستند که ما با اهل سنت هم باید این فضا را ایجاد کنیم. مواضع مقام معظم رهبری بسیار مهم و جالب است، اما متاسفانه هیچ کسی روی این قضیه کار نمی‌کند. نه تنها دنبالش نیستند بلکه دنبال مخدوش کردن این موضوع نیز هستند.
سومین مفهومی که از وحدت و تقریب وجود دارد تحمل مخالف است. ما مخالف را تحمل می‌کنیم به این دلیل که شرایط حذف آماده نیست و اگر روزی قدرت داشتیم دیگر تقریب را تحمل نمی‌کنیم. تحمل مخالف به این معنا که شرایط مهیا نیست و حرف‌مان به کرسی نمی‌نشیند یعنی این وحدت بر اساس تاکتیک است. برخلاف دو مفهوم قبل که راهبردی بود.
نوع چهارم، این است که تقریب یعنی تقرب الی حق.برخی از این علما، تقریب را به این معنا می‌دانند که «تقرب الی الحق»، یعنی سنی باید شیعه شود. این افراد از سخنان و کلمات تقریبی استفاده می‌کنند، اما تعریفی که از تقریب دارند، همان معانی تقریبی است که وهابیت دارد. وهابیت کتابی تحت عنوان کتاب تقریب بین شیعه و سنت دارد که در این کتاب آمده است که تقریب یعنی تقرب الی‌الحق؛ اگر وهابی شدی تو تقریبی خوبی هستی و الا تقریب یعنی کنار هم بنشینیم و به هم کار نداشته باشیم.
تقریب یعنی من با شما بنشینم و معارف اهل بیت را بگویم و طرف مقابل نباید حرفی بزند و تنها حرف‌های من را یک طرفه گوش دهد. این هم یک معنا در حوزه دارد و در حال رخ دادن است.
متاسفانه مجمع تقریب طی ۳۰ سال گذشته موفق نبوده است، البته به اندازه پولی که خرج کردند موفق بوده، اما در این زمینه می‌توانست موفق‌تر عمل کند.
باید از برخی از اعضای مجمع تقریب که ادعای درک مباحث تقریبی را دارند و نیازی به مشورت در این زمینه‌ها نمی‌بینند پرسید که چند جلسه درباره مباحث تقریب نشسته‌ای و با چند سنی دراین باره بحث کرده‌ای؟ تا چه اندازه سخنان سنی‌ها را خوانده و شنیده‌ای؟ آیا تقریب یعنی فقط با سنی؟ تقریب با دیگران چه می‌شود؟ دیگران یعنی فرقه‌های دیگر اسلامی. تقریب بین شیعه و شیعه، اسماعیلیه، زیدیه، شیرازی، ترکیه، قادیانه، ذکریه، اباذیه و… صد‌ها فرقه دیگر داریم که اهل سنت آن را قبول ندارند، اما در جهان اسلام وجود دارند.

علت شکست گروه الکرام را در چه می دانید؟ در حوزه علمیه قم. به دیدار آیت الله اراکی رفتم و گفتم بیایید حوزه علمیه قم و نائب بگیرید. درخواست من این بود که ایشان به حوزه علمیه قم بروند و تقریب را دنبال کنند. ما به سنین نزدیک می‌شویم، اما چه کسی در این سمت میز می‌نشیند؟ ما در این فضا دو مجتهد جدی نزدیک به هم نداشته ایم.
باید از برخی اعضای مجمع تقریب که ادعای درک مسائل تقریب را دارند و نیازی به مشورت در این زمینه ها نمی بینند بپرسید که چند جلسه در مورد مسائل تقریب نشسته اید و با چند سن در مورد آن بحث کرده اید. ? تا چه اندازه سخنان اهل سنت را خوانده و شنیده اید؟ آیا تقریب فقط به معنای سن است؟ چه اتفاقی برای دیگران می افتد؟ برخی دیگر به فرقه های اسلامی دیگر اشاره می کنند. آشتی شیعه و شیعه، اسماعیلیه، زیدیه، شیرازی، ترکی، قادیه، ذکریه، آبادیه و… ما صدها فرقه دیگر داریم که اهل سنت آنها را قبول ندارند، اما در جهان اسلام وجود دارند. در ایران در برخورد با چنین مسائلی با مشکل مواجه هستیم.

شرکت المصطفی در این فرآیند چه اقداماتی انجام داد؟
جامعه المصطفی گام های جامعی در این روند برنداشته است و همه دانش آموزانی که تربیت می کند آنطور که باید آموزش دیده اند. من از سال 1380 در جامعه المصطفی تدریس می کنم و به عنوان فردی آگاه صحبت می کنم.
در واقع مشکل این است که شاگردان امام خمینی (ره) در دوران انقلاب وارد عرصه سیاست و حکومت شدند. حال سوال این است که چه کسانی حوزه علمیه را دریافت کردند؟ نوع تفکر آقایانی که یا تقریب را قبول ندارند و اگر هم قبول دارند، تاکتیکی است. این موضوع در میدان اتفاق افتاد و ما اصلا به آن توجه نکردیم.
باید بررسی کنید که روحانیونی که در دانشگاه تدریس می کنند اغلب فکر تقریبی ندارند. الان در حوزه نظر این است که فلسفه را از حوزه خارج کنند. می گویند عرفان در حوزه چه فایده ای دارد؟ یاد 20 سال پیش افتادم. وقتی می خواستم عرفان بخوانم به راحتی به اداره تبلیغات و پاساژ قدس رفتم و نوارهای دروس عرفان آیت الله حسن زاده در آنجا موجود بود، اما الان به سختی پیدا می شود. برعکس، اگر قصد مطالعه آنها را دارید، باید نامه ای از دفتر آیت الله جوادی یا حسن زاده دریافت کنید که می توانید از این موضوعات استفاده کنید. چنین اتفاقاتی در زمین رخ می دهد. به نظر شما چرا رهبر معظم انقلاب قصد دارند فضایی را در مشهد ایجاد کنند تا فلسفه را به آنجا بیاورند؟ چون در حوزه با چنین مشکلاتی مواجه هستیم، یعنی زیرساخت های تقریب در حوزه را ایجاد نکرده ایم.

رهبر معظم انقلاب اسلامی نیز اخیرا در بیانات خود درباره وضعیت حوزه‌های علمیه تذکر جدی دادند.
مشکلی که ما در حوزه علمیه داریم این است که حوزه یک مجموعه بسته‌ای است و با ایجاد مراکز اقماری در حوزه تلاش می‌شود تا بتواند از این حوزه بهره وری‌ها بالا رود.
پیامبر فرمودند: «اگر کسی صبح مسلمان بیدار شود و ببیند مسلمانی داد می‌زند و به کمکش نرود او مسلمان نیست.» برخی‌ها در حوزه علمیه بر سر این موضوع هفته‌ها بحث کرده اند تا زیراب این تفسیر را بزنند، یا تفسیری از این روایت داشته باشد تا با آن برداشت‌ها و نظرات ما نتوانیم برای فلسطین، حماس، جامعه سنی‌ها اقدامی کنیم.
شاگردان حوزه بر سر کلاس این افراد حضور پیدا میکنند و با این اندیشه، ممکن است بعدا جذب مجموعه نظام شوند. چه اتفاقی می‌افتد و تاثیرش چه می‌شود؟ این آقا، امام جمعه کجا می‌شود؟ این فرد تمام همتش این است که سنی‌ها را شیعه کند و تمام هزینه‌ها را به این سمت می‌برد. جلوی فعالیت‌های اهل سنت را می‌گیرد و اجازه نمی‌دهد تا حوزه علمیه و رسانه، مجله، کتاب‌ها چاپ شود.
طبق قانون، امام جمعه عضو شورای تامین است و صد‌ها عضویت مهم دیگر دارد، بنابراین سخنانش تاثیرگذار است و وقتی در جمعی می‌رود و به عنوان یک روحانی تحلیل می‌کند می‌گوید این نظر مذهب است بنابراین تمام افراد به حرفش گوش می‌دهند.

روی فقه موازی سال ها کار شده است. آیا این موضوع خود می تواند عامل ظرفیت سازی باشد و چقدر به پایان فقه موازی نزدیک است؟ نمی خواهند یک دوره فقهی موازی در قم برگزار شود. از طرفی عده ای به نام فقه تطبیقی ​​فعالیت می کنند اما در واقع می خواهند اهل سنت را نابود کنند.

فقه مقارن یعنی بیاییم در یک باب فقهی هم در نظر شیعه و هم نظر اهل سنت را مطرح کنیم و بررسی کنیم که کدام غنی‌تر و صحیح‌تر به نتیجه می‌رسند. هم ادله شیعه و هم اهل سنت گفته شود. باید دید فضا برای این فعالیت فراهم است؟

فقه مقارن یعنی بیاییم در یک باب فقهی هم در نظر شیعه و هم نظر اهل سنت را مطرح کنیم و بررسی کنیم که کدام غنی‌تر و صحیح‌تر به نتیجه می‌رسند. هم ادله شیعه و هم اهل سنت گفته شود. باید دید فضا برای این فعالیت فراهم است؟
آیت الله بروجردی با آن عظمتش قصد انجام اقداماتی را داشت، اما نتوانست. آقای بروجردی چند عبارت در مباحث فقه مقارن دارد. برخی آقایان درصدد انکار آن هستند. همانطور که وهابیت میخواهد فتوای تاریخی شیخ محمود شلتوت را انکار کند. اقایان هم در قم قصد انکار عبارات آیت الله بروجردی مبنی بر اینکه فقه شیعه حاشیه‌ای بر فقه اهل‌سنت است، را دارند. زیرا اگرچه امام صادق (ع) به لحاظ جایگاه بسیار بزرگ مرتبه بودند، اما در آن زمان به لحاظ موقعیت اجتماعی شیعه در اقلیت بود. به دو دلیل به امام صادق (ع) احترام می‌گذاشتند. یکی به خاطر اینکه فرزند پیامبر و از اهل بیت و دیگری چرا که فردی زاهد و عالم بودند. تمام افرادی که در اطراف امام صادق (ع) درس می‌خواندند حدود ۴ هزار نفر بودند. اما در مقابل تنها یک هزار نفر در کوفه در کلاس ابوحنیفه شرکت می‌کردند؛ لذا می‌گوید، چون حرف‌های ابوحنیفه بر جهان اسلام تاثیرگذار بود امام صادق به حرف‌های ابوحنیفه حاشیه می‌زد و حرف‌هایش را تصحیح می‌کرد؛ لذا اگر قرار است که حدیث امام صادق (ع) را بررسی کنیم حتما باید فقه ابوحنیفه را بدانیم تا سخن امام صادق (ع) را در مقابل وی فهم کنیم. آیت الله بروجردی قصد داشتند که کتابی مانند شرح العروة الوثقی که بالا فتوا‌های شیعه و پایین فتوا‌های سنی‌ها باشد را بنگارند، اما نتوانستند.
سال ۷۹؛ ۳۴ سوال در باب ویژگی‌های تقریبی آیت‌الله بروجردی طرح کردم و آن را با ۳۵ نفر از شاگردان ایشان که هنوز زنده بودند، ارائه دادم. ۳۰ نفر از این جمع حضور ما را نپذیرفتند و اعلام کردند که ما این جواب‌ها را نمیتوانیم بگوییم. هنگامی که به یکی از علمای مبرز تحویل دادم، تمام سوالات را خط زد و ۴ موضوع کلی ارائه داد و زندگی نامه آیت الله بروجردی را نوشت و گفت من نمیتوانم جواب بدهم. برخی دیگر نیز گفتند من در این زمینه مصاحبه نمیکنم. یکبار در یکی از اتاق‌های دارالشفاء خدمت یکی از علما رسیدم و سوال‌ها را به ایشان دادم و ساعت‌ها درباره نظرات ایت الله بروجردی بحث کردیم. می‌گفتند این حرف‌ها الان جرم است. حال الان ۲۰ سال از آن روز گذشته و اوضاع وخیم‌تر شده است. به قول بعضی از دوستان میگفتند خدا پدر داعش را بیامرزد یک مقدار تقریب در اوضاع درست کرد!

/پایان قسمت اول/ ادامه…